Функція Томе

Функція Томе — це визначена на множині дійсних чисел функція $f(x)$ від дійсної змінної $x$ , що названа на честь Карла Йоганнеса Томе. Вона має багато назв: модифікована функція Діріхле, функція Рімана, краплева функція, лінійкова функція, Зірка Вавилона[1]. Визначення можна записати так:

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1&x=0\\\end{cases}}

Графік функції Томе на інтервалі (0,1). Показані всі раціональні точки із знаменником не більше 200.

У даному означенні вважається, що дріб ${\frac {p}{q}}$ є нескоротним.

Властивості

Функція Томе є неперервною в усіх ірраціональних точках і є розривною для всіх раціональних значень аргументів.

Справді, для будь-якого

x\in \mathbb {R}

маємо

\lim _{y\to x}f(y)=0.\,

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

На відміну від функції Діріхле, функція Томе є інтегровною за Ріманом на будь-якій скінченній області інтегрування.

Справді, нехай Z — деяке розбиття області інтегрування і

\delta x_{i}<\lambda

— довжини проміжків розбиття. Позначимо також

\omega _{i}

коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел, що записуються як нескоротний дріб із знаменниками

q\leq N

де

N\in \mathbb {N}

є, очевидно, деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа, рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує

2k\lambda \,

. На інших проміжках коливання функції є меншим

{\frac {1}{N}}

. Остаточно можемо записати:

\sum \omega _{i}\delta _{i}<2k\lambda +{\frac {d}{N}}

, де d -- довжина області інтегрування.

Узявши N достатньо великим, а

\lambda \,

достатньо малим, можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також

Функція Діріхле
Евклідів сад — функцію Томе можна інтерпретувати, як перспективне зображення Евклідового саду

Література

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1375516. mathforum.org. Процитовано 13 червня 2018.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ttp://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1375516. mathforum.org. Процитовано 13 червня 2018.