Центральний біноміальний коефіцієнт

Твірна функція:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$

За формулою Стірлінґа отримуємо:

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ .

Корисні обмеження:

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}}$ для кожного ${\displaystyle n\geq 1}$

Якщо потрібна більша точність:

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)}$ де ${\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$ для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$.

З цим поняттям тісно пов'язані так звані числа Каталана, ${\displaystyle C_{n}}$_. Їх формула:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$ для кожного ${\displaystyle n\geq 0}$.

Узагальненням центральних біноміальних коефіцієнтів можна вважати числа ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, для всіх дійсних ${\displaystyle n}$, за яких вираз визначений, де ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функція, а ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ — бета-функція.

• Припущення Ердеша про безквадратність

• Центральний біноміальний коефіцієнт на PlanetMath (англ.)
• Біноміальний коефіцієнт на PlanetMath (англ.)
• Трикутник Паскаля на PlanetMath (англ.)
• Числа Каталана на PlanetMath (англ.)