Число Річардсона

Якщо густина тіла значно перевищує густину середовища, то архімедовою силою можна знехтувати, тобто:

${\displaystyle {\frac {\Delta \rho }{\rho }}\,\approx 1}$,

Тоді:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\,h}{v^{2}}}}$,

Легко побачити, що число Річардсона у цьому випадку обернено пропорційне до числа Фруда:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {1}{\operatorname {Fr} ^{2}}}}$.

При розгляді температурної конвекції зміна густини викликана нагріванням:

${\displaystyle \Delta \rho =\rho \,\beta \,\Delta T}$,

У цьому випадку середовищем є та ж рідина чи газ, тільки не нагріті. У цьому випадку число Річардсона можна записати як:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\beta (T_{hot}-T_{0})}{|{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}|}}={\frac {g\,L\,\beta \Delta T}{v^{2}}}={\frac {\operatorname {Gr} }{\operatorname {Re} ^{2}}}}$

де:

• ${\displaystyle \beta }$ — коефіцієнт теплового розширення;
• ${\displaystyle \Delta T=T_{hot}-T_{0}}$ — характерна різниця температур, наприклад між гарячою стінкою і зовнішнім середовищем;
• ${\displaystyle |{\vec {v}}|\sim v}$ — характерна швидкість;
• ${\displaystyle \operatorname {Gr} \,}$ — число Грасгофа;
• ${\displaystyle \operatorname {Re} \,}$ — число Рейнольдса.

Розглянемо плавну зміну густини і швидкості рідини у напрямку певної координити:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\,d\rho \,dz}{\rho \,(dv)^{2}}}}$.

Після домноження на dz/dz і введення частоти Брента-Вяйсяля N, отримаємо:

${\displaystyle \mathrm {Ri} =N^{2}\,\left({\frac {dv}{dz}}\right)^{-2}}$