Ізогональне спряження

Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P^{*}}$ називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними[1]) в трикутнику ${\displaystyle \triangle ABC}$, якщо ${\displaystyle \angle ABP=\angle CBP^{*}}$, ${\displaystyle \angle BAP=\angle CAP^{*}}$, ${\displaystyle \angle BCP=\angle ACP^{*}}$. Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.

• Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
• Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
• Якщо точки ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$, ${\displaystyle P_{c}}$ симетричні точці ${\displaystyle P}$ відносно сторін трикутника, то центр описаного кола ${\displaystyle P_{a}P_{b}P_{c}}$ ізогонально спряжений до точки ${\displaystyle P}$.
• Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
• Проекції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотне). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
• Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо трикутника.
• Якщо коніка ${\displaystyle \alpha }$ ізогонально спряжена до прямої ${\displaystyle l}$, то трилінійні поляри всіх точок на ${\displaystyle \alpha }$ будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу ${\displaystyle l}$.

• Центр описаного кола та ортоцентр.
• Точка перетину медіан та точка Лемуана.
• Точки Брокара
• Точка Аполлонія та точка Ферма.

В барицентричних координатах ізогональне спряження записується так:

${\displaystyle (x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}\right)\,}$,

де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — довжини сторін трикутника. В трилінійних координатах його запис має форму:

${\displaystyle (x:y:z)\ \mapsto ({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}})}$,

тому вони зручні при роботі з ізогональним спряженням.

• Ізотомічне спряження

• З ізогонального спряження можна вивести теорему Паскаля.