Ізотомічне спряження
У планіметрії ізотомічним спряженням називають одне з перетворень площини, що породжується заданим на площині трикутником .
Визначення
Нехай дано трикутник , у якого — середина сторони , — середина і — середина сторони . Нехай також на площині вибрано довільну точку , яка не лежить на прямих, що містять його сторони. Тоді розглянемо прямі , і . Нехай вони перетинають прямі, що містять протилежні сторони трикутника, відповідно в точках , і (якщо прямі виявляться паралельними, точкою перетину вважається нескінченно віддалена точка прямої). Згідно з теоремою Чеви, . Якщо тепер точки , і симетрично відбити відносно , і відповідно, вийдуть точки , і (нескінченно віддалена точка переходить сама в себе). Оскільки , і так само для інших пар точок, отримуємо і, згідно з тією ж теоремою Чеви, прямі , і перетинаються в одній точці . Ця точка називається ізотомічно спряженою точці відносно трикутника .
Ізотомічне спряження встановлює взаємно-однозначну відповідність між точками площини з виключеними прямими , і . На цих прямих відповідність не є взаємно-однозначною, так будь-якій точці прямої відповідає вершина (і навпаки, вершині — будь-яка точка ) тощо.
Координати
Якщо барицентричні координати точки дорівнюють , то барицентричні координати ізотомічно спряженої їй точки дорівнюють .
Якщо трилінійні координати точки дорівнюють , То трилінійні координати ізотомічно спряженої їй точки дорівнюють .
Інше визначення
Якщо замість симетричної чевіани взяти чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа початкової, то такі чевіани також перетнуться в одній точці. Отримане перетворення називають ізотомічним спряженням. Воно також переводить прямі в описані коніки. Під час афінних перетворень ізотомічно спряжені точки переходять в ізотомічно спряжені. За ізотомічного спряження в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.
Властивості
- Ізотомічне спряження є симетрією, тобто його квадрат тривіальний.
- Нерухомими точками (тобто такими, що переходять самі в себе) ізотомічного спряження є центроїд (інші назви: барицентр або центр мас, тобто точка перетину медіан) трикутника і точки, симетричні вершинам трикутника відносно середин протилежних сторін.
- Точки Жергонна і Наґеля ізотомічно спряжені.
- Точці Лемуана (точці перетину симедіан) трикутника ізотомічно спряжена його точка Брокара.
- Точці перетину бісектрис (інцентру) ізотомічно спряжена точка перетину антибісектрис.
- Прямі загального положення відносно трикутника за ізотомічного спряження переходять в описані навколо нього коніки, і навпаки.