Інтервали між простими числами

Постулат Бертрана стверджує, що для будь-якого k завжди існує хоча б одне просте число між k і 2 k, тому, зокрема, ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$, звідки ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Теорема про розподіл простих чисел говорить, що «середня довжина» інтервалів між простим p і наступним простим числом має порядок ${\displaystyle \ln p}$. Фактична довжина інтервалів може бути більшою або меншою від цього значення. Однак, з теореми про розподіл простих чисел можна вивести верхню оцінку для довжини інтервалів простих чисел: для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке N, що для всіх ${\displaystyle n>N}$ буде ${\displaystyle g_{n}<\varepsilon p_{n}}$.

Хохайзель першим показав[7] що існує таке постійне ${\displaystyle \theta <1}$

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

звідси слідує що

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },}$

для досить великого n.

Звідси випливає, що інтервали між простими стають як завгодно меншими по відношенню до простих: частка ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{p_{n}}}}$ прямує до нуля при прямуванні n до нескінченності.

Хохайзель отримав для ${\displaystyle \theta }$ можливе значення 32999/33000. Цю оцінку поліпшив до 249/250 Гайльбронн,[8] і до ${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Чудаков.[9]

Основне поліпшення отримав Інгем,[10], який показав, що якщо

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$

для деякої константи ${\displaystyle c>0}$, Де O використовується в сенсі нотації O велике, то

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$

для будь-якого ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. Тут, як завжди, ${\displaystyle \zeta }$ позначає дзета функцію Рімана, а ${\displaystyle \pi (x)}$ — функцію розподілу простих чисел, які не перевищують x. Відомо, що допускається ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$, звідки для ${\displaystyle \theta }$ можна взяти будь-яке число, більше ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$. З результату Інгема відразу випливає, що завжди існує просте число між числами ${\displaystyle n^{3}}$ і ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для досить великих n. Зауважимо, що ще не доведена гіпотеза Лінделефа, яка стверджує, що для c можна вибрати будь-яке додатне число, але з неї випливає, що завжди існує просте число між ${\displaystyle n^{2}}$ і ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ для досить великих n (див. також Гіпотеза Лежандра). Якщо ця гіпотеза правильна, то можливо, що необхідна ще більш строга гіпотеза Крамера. Одним з досягнутих наближень до гіпотези Лежандра є доведений факт про те, що ${\displaystyle g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})}$.[11]

Мартін Гакслі показав, що можна вибрати ${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}}$.[12]

Останній результат належить Бакеру, Гарману і Пінцу, які показали, що ${\displaystyle \theta }$ можна взяти рівним 0,525.[11]

2005 року Денієл Ґолдстон, Янос Пінц і Джем Їлдирим довели, що

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0}$

і пізніше покращили це[13] до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty }$

2013 року Чжан Ітан представив статтю, де доводиться, що[14]

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.}$

Цей результат багаторазово поліпшувався аж до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.}$

Зокрема, це означає, що множина всіх пар простих чисел, різниця між якими не перевищує 246, нескінченна[15][16].

Роберт Ренкін довів, що існує константа ${\displaystyle c>0}$ така, що нерівність

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}}$

зберігається для нескінченно багатьох значень n. Найкраще відоме значення для c на поточний момент — це ${\displaystyle c=2e^{\gamma }}$, де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера-Маскероні.[17] Пал Ердеш запропонував приз $5000 за доведення або спростування того, що константа c в наведеній нерівності може бути як завгодно великою.[18]