Аксіоматика теорії ймовірностей

Аксіоматика Колмогорова — загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису події та імовірності, запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим в 1929, остаточно в 1933. Він додав теорії ймовірностей формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

Історія аксіоматизації теорії імовірностей

Проблема аксиоматизації теорії імовірностей включена Д. Гільбертом у формулювання його 6-ї проблеми «Математичний виклад основ фізики»:

З дослідженнями геометрії тісно зв'язана задача про аксіоматичну побудову по цьому ж зразку тих фізичних дисциплін, у яких уже тепер математика відіграє видатну роль: це в першу чергу теорія імовірностей та механіка. Що стосується аксіом теорії імовірностей, те мені здавалося б бажаним, щоб паралельно з логічним обґрунтуванням цієї теорії йшов рука об руку строгий і задовільний розвиток методу середніх значень у математичній фізиці, зокрема, у кінетичній теорії газів.

До Колмогорова спроби аксіоматизувати теорію ймовірностей починали Больман, С. Бернштейн, Р. Мізес, а також А. Ломницкий на базі ідей Е. Бореля про зв'язок понять імовірності й міри.

А. Н. Колмогоров під впливом ідей теорії множин та теорії міри сформулював просту систему аксіом (яка, щоправда, не є єдиною), що дозволила описати вже існуючі на той час класичні розділи теорії імовірностей, дати поштовх розвитку її нових розділів, наприклад, теорії випадкових процесів, і стала загальноприйнятою в сучасній теорії імовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей

Елементарна теорія ймовірностей — та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з ймовірностями лише скінченного числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основні відношення, а також аксіоми, яким ці відношення повинні підкорюватися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відношень. Аксиоматизація теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і щодо вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливу простоту як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найдоцільнішим аксіоматизовані поняття випадкової події та його ймовірності.

Формування

Нехай $~\Omega$ — множина елементів $~\omega$ , які називаються елементарними подіями, а $~{\mathcal {F}}$ — множина підмножин $~\Omega$ , що називаються випадковими подіями (або просто — подіями), а $~\Omega$ — простір елементарних подій.

Аксіома I (алгебра подій). ${\mathcal {F}}$ є алгеброю подій.
Аксіома II (існування ймовірності подій). Кожній події $x$ з ${\mathcal {F}}$ поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число $\mathbf {P} (x)$ , яке називається ймовірністю події $x$ .
Аксіома III (нормування ймовірності). $\mathbf {P} (\Omega )=1$ .
Аксіома IV (адитивність ймовірності). Якщо події $x$ і $y$ не перетинаються, то: $\mathbf {P} (x+y)=\mathbf {P} (x)+\mathbf {P} (y)$ .

Сукупність об'єктів $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ , що задовольняє аксіомам I-IV, називається ймовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

Зауваження

Система аксіом I—IV не суперечить сама собі. Це показує наступний приклад: $~\Omega$ складається з єдиного елемента $~\omega$ , ${\mathcal {F}}$ — з $~\Omega$ і безлічі неможливих подій (порожньої множини) $\varnothing$ , при цьому $\mathbf {P} (\Omega )=1,\mathbf {P} (\varnothing )=0$ . Однак ця система аксіом не є повною: в різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні ймовірнісні простори.

Посилання

Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. (укр). К.: ВПЦ «Київський університет». Архів оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 20 червня 2010.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.