Багатогранник Дюрера

Цей багатогранник може бути побудований шляхом обрізання двох протилежних вершин куба, трикутного трапеції (опуклий багатогранник із шістьма сторонами ромба, утвореного розтягуванням або скороченням куба вздовж однієї з його довгих діагоналей), або з ромбоедра чи паралелепіпеда (менш симетричні багатогранники, які все ще мають таку ж комбінаторну будову, як куб). У випадку куба або тригональної трапеції, де дві зрізані вершини — це ті, що розташовуються на осях, що розтягуються, отримана форма має триразову обертальну симетрію.

Меланхолія (1514 рік)

Цей багатогранник іноді називають монолітом Дюрера, через його появу в гравюрі Меланхолія 1514 року. Граф, утворений його ребрами і вершинами, називається графом Дюрера.

Форма моноліту, зображеного Дюрером, є предметом наукових дискусій, які точаться навколо того, яке геометричне тіло було зрізане: куб[1], чи ромбоедр.

Більшість вчених більше схиляються до другого варіанту, але існують ще декілька припущень щодо цього:

• Ріхтер стверджує, що ромби ромбоедра, з яких складається ця форма, мають 5: 6 як співвідношення між їх короткими та довгими діагоналями, від яких гострі кути ромбів становитимуть приблизно 80 °[2].
• Шредер (1980) та Лінч (1982) натомість роблять висновок, що відношення дорівнює √3: 2 і що кут приблизно 82 °Schröder, E. (1980). Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung". Basel. Як цитує Weitzel, (2004).
• МакГілларі вимірює особливості креслення і виявляє, що кут приблизно 79 °. Він і Вольф фон Енгельгардт (див. Хідеко, 2009) стверджують, що цей вибір кута походить від його фізичного виникнення в кристалах кальциту.
• Шрайбер стверджує, що спираючись на праці Дюрера, можна стверджувати, що всі вершини моноліта Дюрера лежать на спільній сфері, а також кути ромба дорівнюють 72 °. Хідеко (2009) перераховує декількох інших науковців, які також віддають перевагу теорії 72 °, починаючи з Павла Гродзінського в 1955 році. Він стверджує, що ця теорія мотивована не лише аналізом малюнка, а насамперед естетичними принципами, що стосуються правильних п'ятикутників і золотого перетину[3].
• Вейцлер аналізує ескіз Дюрера 1510 р. того ж моноліта. Він підтверджує гіпотезу Шрайбера про те, що форма має окружність, але з кутами ромба приблизно 79,5 °[4][5][5].
• Хідеко стверджує, що форма призначена для відображення знаменитої геометричної проблеми подвоєння куба, про яку Дюрер також писав у 1525 р. Тому він робить висновок, що (перш ніж відрізати кути) форма є кубом розтягнутим по його довгій діагоналі. Більш конкретно, він стверджує, що Дюрер намалював фактичний куб з довгою діагоналлю, паралельною перспективі площини, а потім збільшив свій малюнок деяким фактором у напрямку довгої діагоналі; результат був би таким самим, як якщо б він намалював витягнуте тверде тіло. Він збільшує коефіцієнт збільшення, що має значення для подвоєння куба 2^1/3 ≈ 1.253, але Хідеко отримує інший коефіцієнт збільшення, який краще відповідає малюнку, 1.277, більш складним чином[6].
• Футамура, Франц і Краннел класифікують запропоновані рішення цієї проблеми за двома параметрами: гострим кутом та перехресним співвідношенням. Їх оцінка перехресного співвідношення близька до рівня МакГілларі і має числове значення, близьке до золотого перетину. Виходячи з цього, вони вважають, що гострий кут ${\displaystyle 2\arctan(\varphi /2)\approx 78^{\circ }}$ і що перехресне співвідношення точно ${\displaystyle \varphi }$[7].

• Скошений тетраедр, іншої форми, утворений обрізанням підмножини вершин куба

• Lynch, Terence (1982). The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I. Journal of the Warburg and Courtauld Institutes (The Warburg Institute) 45: 226–232. JSTOR 750979. doi:10.2307/750979.
• MacGillavry, C. (1981). The polyhedron in A. Dürers Melencolia I. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B 84: 287–294..
• Richter, D. H. (1957). Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie". Z. Vermessungswesen 82: 284–288 and 350–357.. Як цитує Weitzel, (2004).
• Schreiber, Peter (1999). A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I". Historia Mathematica 26: 369–377. doi:10.1006/hmat.1999.2245..
• Schröder, E. (1980). Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung". Basel. Як цитує Weitzel, (2004).
• Strauss, Walter L. (1972). The Complete Engravings of Dürer. New York. с. 168. ISBN 0-486-22851-7. Strauss, Walter L. (1972). The Complete Engravings of Dürer. New York. с. 168. ISBN 0-486-22851-7. . Як цитує Lynch, (1982) .
• Weber, P. (1900). Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus. Strassburg. . Як цитує Weitzel, (2004) .
• Weitzel, Hans (2004). A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I. Historia Mathematica 31 (1): 11–14. doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6. одна Weitzel, Hans (2004). A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I. Historia Mathematica 31 (1): 11–14. doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6..
• Hideko, Ishizu (2009). Another solution to the polyhedron in Dürer's Melencolia: A visual demonstration of the Delian problem. Aesthetics (The Japanese Society for Aesthetics) 13: 179–194..
• Ziegler, Günter M. (3 грудня 2014). Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube. The Guardian..
• Futamura, F.; Frantz, M.; Crannell, A. (2014). The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid. Journal of Mathematics and the Arts 8 (3-4): 111–119. arXiv:1405.6481. doi:10.1080/17513472.2014.974483..

• Weisstein, Eric W. Dürer's Solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• How to build Dürer's Polyhedron — by DUPLICON (in German)
• Open-source 3D models of Dürer's Solid