Варіація функції

Нехай ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції ${\displaystyle f}$ на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ називається наступна величина:

${\displaystyle V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,}$

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка ${\displaystyle [a,\;b]}$ довжин ламаних у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, кінці яких відповідають значенням ${\displaystyle f}$ у точках розбиття.

• Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається ${\displaystyle V[a,\;b]}$ або просто ${\displaystyle V}$.
  • У такому випадку визначена функція ${\displaystyle v(x)=V_{a}^{x}f}$, що називається функцією повної варіації для ${\displaystyle f}$.
• Додатна варіація дійснозначної функції ${\displaystyle f}$ на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ називається наступна величина:

  ${\displaystyle P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Аналогічно означається від'ємна варіація функції:

  ${\displaystyle N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

  ${\displaystyle V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.}$

• Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з ${\displaystyle V}$ буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ${\displaystyle V}$), якщо модуль знаменника на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$ буде більше, ніж позитивна стала.
• Якщо ${\displaystyle a<x\leqslant y<b}$, а ${\displaystyle f\in V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна в точці ${\displaystyle a}$ справа і належить ${\displaystyle V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0}$.
• Функція ${\displaystyle f(x)}$, задана на відрізку ${\displaystyle [a,\;b]}$, є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на ${\displaystyle [a,\;b]}$ функції (розклад Жордана).
• Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
• Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом[1][2].

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом[1].

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є ${\displaystyle 2\pi }$-періодичних функцій класу ${\displaystyle V[0,\;2\pi ]}$ збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

• варіація Фреше,
• плоска варіація Тонеллі.

• Варіаційне числення
• Інтеграл Стілтьєса

• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.