Довжина кривої

Якщо довжина скінченна, то кажуть, що крива спрямна, інакше — неспрямна.

Якщо крива класу ${\displaystyle C^{1}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тоді її довжина дорівнює:

• У загальному випадку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt}$.
• У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt}$.
• Якщо крива задана у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ як ${\displaystyle f(x)}$, то її довжина дорівнює ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)}}\,dx}$.
• У полярних координатах для плоскої кривої:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}\limits \!{\sqrt {\rho ^{2}+({\tfrac {d\rho }{d\varphi }})^{2}}}\,d\varphi .}$

Історично обчислення довжини дуги називалося спрямленням кривої. Задача спрямляння виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне спрямлення було виконано для кола. Декарт навіть висловлював думку, що «відношення між прямим і кривим невідоме, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми». Першим досягненням стало спрямлення параболи Нейла (1657), виконане Ферма і самим Нейлом. Незабаром було знайдено довжину дуги циклоїди (Рен, Гюйгенс). Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.

• Варіація функції
• Диференціальна геометрія кривих

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)

• Обчислення довжини дуги кривої // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 428. — 594 с.