Квадрика

Квадрика на евклідовій площині відповідає випадку n = 1, тобто є кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перетинами.

Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.

Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм.[2] З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми включають в себе площині, прямі, точки і навіть квадрику без дійсних точок.[3]

Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі
Еліпсоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Сфера (спеціальна форма сфероїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Еліптичний параболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
Гіперболічний параболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Однопорожнинний гіперболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Двопорожнинний гіперболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}$
Вироджені квадрики в евклідовому просторі
Еліптичний конус	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,}$
Еліптичний циліндр	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндру)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Гіперболічний циліндр	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Параболічний циліндр	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$

Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі.[4] Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ неможливо перевести рухом в еліпсоїд ${\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1}$).

Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots x_{n+1}),}$ тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на ${\displaystyle x_{0},}$ а вільний член на ${\displaystyle x_{0}^{2}.}$ Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд

${\displaystyle Q(x)=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}x_{j}=0.}$

Без обмеження спільності можна вважати, що матриця ${\displaystyle Q}$ симетрична, тобто ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}.}$ Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.

У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду

${\displaystyle Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{n+1}^{2}}$

Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентності:

${\displaystyle Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}}$

Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )\Sigma ^{-1}(x-\mu )^{T})}$

де ${\displaystyle k}$ це масштабний коефіцієнт, ${\displaystyle x}$ це ${\displaystyle n}$-мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \Sigma }$ це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та ${\displaystyle g}$ є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою.[5] Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ для квадратичної форми ${\displaystyle z}$.

Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.