Загальна лінійна група

Загальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ називається четвірка ${\displaystyle \left(U_{n}(R),\cdot ,{}^{-1},I\right)}$, де:

• ${\displaystyle R}$ є асоціативним кільцем з одиницею,
• ${\displaystyle U_{n}(R)}$ — оборотні матриці порядку ${\displaystyle n}$ над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle F}$, то загальною лінійною групою лінійного простру ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ або ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ називається група всіх автоморфізмів ${\displaystyle V}$, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень ${\displaystyle V\to V}$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність ${\displaystyle \dim V=n}$, то ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ і ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ${\displaystyle V}$. Якщо ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ — базис, і автоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$, маємо

${\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}$

для деяких констант ${\displaystyle a_{jk}\in K}$. Матриця, відповідна ${\displaystyle T}$ має елементами ${\displaystyle a_{jk}}$.

Матриця є оборотна над полем ${\displaystyle F}$, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця ${\displaystyle R}$ маємо: матриця над ${\displaystyle R}$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в ${\displaystyle R}$. Отже, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальною лінійною групою порядку ${\displaystyle n}$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку ${\displaystyle n}$ з елементами поля ${\displaystyle K}$, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$.

Якщо ${\displaystyle K}$ є скінченним полем з ${\displaystyle q}$ елементами, іноді використовується запис ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$.

• Якщо n > 2, то група ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ не є абелевою.
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ є нормальною підгрупою ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$.
• Нехай ${\displaystyle K^{*}}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}}$.

• ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ є напівпрямим добутком ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}}$

• Залишково скінченна група

• Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703