Гіперболоїд

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі розглянемо квадратичну форму:

${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\,\quad k<n.}$

Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

${\displaystyle \lbrace x:q(x)=c\rbrace }$

називається гіперболоїдом. Випадок, коли c = 0 є виродженим.

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

${\displaystyle \ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=R^{2},\quad dl^{2}=-dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}\qquad (1)}$.

Введенням координат

${\displaystyle \ x_{1}=R{\text{ch}}(\psi ),\quad x_{2}=R\cos(\varphi ){\text{sh}}(\psi )\sin(\theta ),\quad x_{3}=R\sin(\varphi ){\text{sh}}(\psi )\sin(\theta ),x_{4}=R\cos(\theta ){\text{sh}}(\psi )}$

можна задовольнити ${\displaystyle \ (1)}$, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

${\displaystyle \ dl^{2}=R^{2}(d\psi ^{2}+{\text{sh}}^{2}(\psi )(d\theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )d\varphi ^{2}))\qquad (2)}$.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

${\displaystyle \ \Gamma _{jl}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{jl})}$,

де метричний тензор ${\displaystyle \ g_{lj}}$ має вигляд

${\displaystyle \ g_{lj}={\text{diag}}(R^{2},R^{2}{\text{sh}}^{2}(\psi ),R^{2}{\text{sh}}^{2}(\psi )\sin ^{2}(\theta )),\quad g^{lj}={\text{diag}}(R^{-2},R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi ),R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi )\sin ^{-2}(\theta ))\qquad (3)}$,

для частинних випадків виразів можна отримати

${\displaystyle \ \Gamma _{ll}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{l}g_{ml}-\partial _{m}g_{ll})=g^{km}\partial _{l}g_{ml}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}=-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}\qquad (4)}$;

${\displaystyle \ \Gamma _{kk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{k}g_{km}-\partial _{m}g_{kk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{kk}=0\qquad (5)}$;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, ${\displaystyle \ \partial _{0}g_{00}=\partial _{h}g_{hh}=0}$;

${\displaystyle \ \Gamma _{lk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mk}+\partial _{k}g_{ml}-\partial _{m}g_{lk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\qquad (6)}$;

${\displaystyle \ {\Gamma _{lj}^{k}}^{(3)}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{lj})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\delta _{kj}+{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{j}g_{kk}\delta _{kl}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{jl}\delta _{jl}=\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}\qquad (7)}$.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензора Річчі: маючи загальне визначення,

${\displaystyle \ R_{lj}^{(3)}=\partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jl}^{k}\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }-\Gamma _{l\sigma }^{k}\Gamma _{jk}^{\sigma }\qquad (8)}$,

та вирази ${\displaystyle \ (4)-(7)}$,

для тензора можна отримати (сума лише по індексах ${\displaystyle \ k,\sigma }$)

${\displaystyle \ R_{lj}^{(3)}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{lk}^{k}\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-2\Gamma _{kj}^{l}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}\qquad (9)}$.

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензора Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти ${\displaystyle \ R_{ij}}$. Спочатку доведеться отримати, користуючись ${\displaystyle \ (4)-(7)}$, явний вигляд для символів Кристоффеля:

${\displaystyle \ \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{33}^{3}=\Gamma _{23}^{1}=\Gamma _{12}^{3}=\Gamma _{21}^{1}=\Gamma _{31}^{1}=\Gamma _{32}^{2}=\Gamma _{11}^{2}=\Gamma _{11}^{3}=0}$,

${\displaystyle \ \Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{1}(g_{33})={\frac {2sh(\psi ){\text{ch}}(\psi )}{2{\text{sh}}^{2}(\psi )}}={\text{cth}}(\psi ),\quad \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}}$,

${\displaystyle \ \Gamma _{22}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{22})=-{\text{sh}}(\psi ){\text{ch}}(\psi )}$,

${\displaystyle \ \Gamma _{23}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{2}(g_{33})={\text{ctg}}(\theta )}$,

${\displaystyle \ \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{33})=-\sin ^{2}(\theta ){\text{sh}}(\psi ){\text{ch}}(\psi )}$,

${\displaystyle \ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {1}{2}}g^{22}\partial _{2}(g_{33})=-\sin(\theta )\cos(\theta )}$.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та ${\displaystyle (9)}$, має вираз

${\displaystyle \ R_{11}=-\partial _{1}\Gamma _{1k}^{k}-\Gamma _{1k}^{k}\Gamma _{1k}^{k}=-\partial _{1}(\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{13}^{3})-(\Gamma _{12}^{2})^{2}-(\Gamma _{13}^{3})^{2}=-2\partial _{1}{\text{cth}}(\psi )-2{\text{cth}}^{2}(\psi )={\frac {2}{{\text{sh}}^{2}(\psi )}}-2{\text{cth}}^{2}(\psi )=-2}$.

Компонента 22:

${\displaystyle \ R_{22}=\partial _{k}\Gamma _{22}^{k}-\partial _{2}\Gamma _{2k}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{22}^{k}-(\Gamma _{2k}^{k})^{2}-2\Gamma _{2k}^{2}\Gamma _{22}^{k}=\partial _{1}\Gamma _{22}^{1}-\partial _{2}\Gamma _{23}^{3}+(\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{1\sigma }^{\sigma }+\Gamma _{22}^{3}\Gamma _{3\sigma }^{\sigma })-(\Gamma _{23}^{3})^{2}-2(\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{32}^{2}\Gamma _{22}^{3})=}$

${\displaystyle \ =-{\text{ch}}(2\psi )+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}+2\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}-{\text{ctg}}^{2}(\theta )+2{\text{ch}}^{2}(\psi )=-{\text{ch}}(2\psi )+1-2{\text{ch}}^{2}(\psi )+2{\text{ch}}^{2}(\psi )=-{\text{sh}}^{2}(\psi )}$.

Компонента 33:

${\displaystyle \ R_{33}=\partial _{k}\Gamma _{33}^{k}-\partial _{3}\Gamma _{3k}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{33}^{k}-(\Gamma _{3k}^{k})^{2}-2\Gamma _{k3}^{3}\Gamma _{3k}^{3}=}$

${\displaystyle \ =(\partial _{1}\Gamma _{33}^{1}+\partial _{2}\Gamma _{33}^{2})+(\Gamma _{1\sigma }^{\sigma }\Gamma _{33}^{1}+\Gamma _{2\sigma }^{\sigma }\Gamma _{33}^{2})-2(\Gamma _{13}^{3}\Gamma _{33}^{1}+\Gamma _{23}^{3}\Gamma _{33}^{2})=}$

${\displaystyle \ =-\sin ^{2}(\theta )ch(2\psi )-\cos(2\theta )-2\sin ^{2}(\theta ){\text{ch}}^{2}(\psi )-\cos ^{2}(\theta )+2\sin ^{2}(\theta ){\text{ch}}^{2}(\psi )+2\cos ^{2}(theta)=|{\text{ch}}(2\psi )=1+2{\text{sh}}^{2}(\psi )|=}$

${\displaystyle \ =-2\sin ^{2}(\theta ){\text{sh}}^{2}(\psi )-\sin ^{2}(\theta )-\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=-2\sin ^{2}(\theta ){\text{sh}}^{2}(\psi )}$.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

${\displaystyle \ R_{ij}=0,i\neq j}$.

Отже, для гіперболоїда

${\displaystyle \ {R_{ij}}_{1}=-{\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}\qquad (10)}$.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

${\displaystyle \ R_{1}=-{\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}g^{ij}=-{\frac {6}{R^{2}}}}$.

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

• Параболоїд — інший вид поверхні другого порядку
• Гіперболічний параболоїд
• Гіперболоїдні конструкції

• Гіперболоїди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 157. — 594 с.
• http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html