Квантор існування

Квантифікована пропозиційна функція є судженням; тому, як і судження, квантифіковані функції можуть бути заперечені. Символ ${\displaystyle \lnot }$  використовується для позначення заперечення.

Наприклад, якщо ${\displaystyle P\left(x\right)}$ — пропозиційна функція «x більше 0 і менше 1», то для області дискурсу X усіх натуральних чисел квантор існування «Існує натуральне число x, яке більше 0 і менше 1» символічно має вигляд:

${\displaystyle \exists {x\in \mathbf {X} }\,P\left(x\right)}$

Можливо продемонструвати його хибність. По правді, варто сказати: «Це не випадок, що існує натуральне число x, яке більше 0 і менше 1», або символічно:

${\displaystyle \lnot {\exists {x\in \mathbf {X} }\,P\left(x\right)}}$.

Якщо немає елементів області дискурсу, для якого судження істинне, то воно повинно бути хибним для всіх таких елементів. Тобто, заперечення

${\displaystyle \exists {x\in \mathbf {X} }\,P\left(x\right)}$

є логічним еквівалентом «Для будь-якого натурального числа x, x не більше 0 і менше 1», або:

${\displaystyle \forall {x\in \mathbf {X} }\,\lnot {P\left(x\right)}}$

Загалом, тоді заперечення квантора існування пропозиційної функції є квантором загальності заперечення тієї ж пропозиційної функції; символічно:

${\displaystyle \lnot \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

Поширеною помилкою є казати «всі особи неодружені» (тобто «не існує особи, яка одружена»), маючи на увазі «не всі особи одружені» (тобто «існує особа, яка неодружена»):

${\displaystyle \lnot \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

Заперечення також висловлюється через судження «для жодного», на відміну від «для деяких»:

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

На відміну від квантора загальності, квантор існування поширюється над логічними диз'юнкціями:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Правило висновування — правило, що виправдовує логічний крок від гіпотези до висновку. Існують декілька правил висновувань, які використовують квантор існування.

Екзистенційне введення (${\displaystyle \exists {I}}$) заключає, що, якщо пропозиційна функція, як відомо, істинна для конкретного елементу області дискурсу, то повинно бути істиною те, що існує елемент, для якого пропозиційна функція істинна. Символічно:

${\displaystyle P\left(a\right)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P\left(x\right)}$

Усунення існування, коли проводиться у дедукції стиля Фітча, продовжується введенням нового під-висновку, поки підстановка змінної під квантором існування для теми, яка не з'являється в будь-якому активному під-висновку. Якщо висновку можна досягти в тому ж під-висновку, у якому підставлена тема не з'являється, то може вийти під-висновок з тим висновком. Міркування за усуненням існування (${\displaystyle \exists {E}}$) наступні: Якщо дано, що існує елемент, для якого пропозиційна функція істинна, і якщо висновку можна досягти, давши цьому елементові довільне ім'я, то висновок неодмінно істинний так довго, поки він не містить імені. Символічно, для довільного c і пропозиції Q, в якій c не з'являється:

${\displaystyle \exists {x\in \mathbf {X} }\,P\left(x\right)\to {\big (}\left(P\left(c\right)\to Q\right)\to Q{\big )}}$

${\displaystyle P\left(c\right)\to Q}$ повинно бути істиною для всіх значень c над тією ж областю X; інакше логіка не слідує: Якщо c не довільний, і є натомість конкретний елемент області дискурсу, то заява P(c) може невиправдано дати більше інформації про той об'єкт.

Формула ${\displaystyle \exists {x\in \emptyset }P\left(x\right)}$ завжди хибна, незалежно від ${\displaystyle P\left(x\right)}$. Це так, оскільки ${\displaystyle \emptyset }$ позначає порожню множину, і немає x будь-якого опису — не кажучи вже про x, що задовольняє даний предикат ${\displaystyle P\left(x\right)}$ — існує в порожній множині. Див. також порожня істина.