Консервативні сили

1 тягне 2: Нехай C буде простим замкненим шляхом (тобто, шляхом, що починається і закінчується в одній точці і не має самоперетинів), і розглянемо поверхню S для якої C є межею. Теорема Стокса каже, що

${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

Якщо ротор F нульовий, то ліворуч маємо нуль і, отже, праворуч теж нуль — отже, твердження 2 істинне.

2 тягне 3: Припустимо, що 2 істинне. Нехай c буде простою кривою від початку координат до точки ${\displaystyle x}$ і визначимо функцію

${\displaystyle \Phi (x)=-\int _{c}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}.}$

Факт того, що ця функція однозначно визначена (незалежна від вибору c) випливає з твердження 2. Хоч як, з формулу Ньютона-Лейбніца, слідує що

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi .}$

Отже твердження 2 тягне .

3 тягне 1: Нарешті, припустимо, що третє твердження істинне. Векторне числення нам каже, що ротор градієнта будь-якої функції дорівнює нулю (${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }$). Отже, якщо виконується третє твердження, тоді перше твердження також мусить виконуватись.

Це показує, що ${\displaystyle 1\Rightarrow 2,2\Rightarrow 3,3\Rightarrow 1.}$ Отже, доведено.