Контактне число

В одновимірному випадку не більше двох відрізків одиничної довжини можуть дотикатися до такого ж відрізка:

У двовимірному випадку можна інтерпретувати задачу як знаходження найбільшого числа монет, що дотикаються до центральної. З малюнка видно, що можна розмістити до 6 монет:

Це означає, що ${\displaystyle N(2)\geqslant 6}$. З іншого боку, кожне дотичне коло відсікає на центральному колі дугу 60°, і ці дуги не перетинаються, отже ${\displaystyle N(2)\leqslant 360/60=6}$. Видно, що в даному випадку оцінки зверху і знизу збіглися і ${\displaystyle N(2)=6}$.

Приклад розташування 12 куль

У тривимірному випадку йдеться про кулі. Тут також легко побудувати приклад з 12 кулями, що дотикаються до центральної — вони розташовані у вершинах ікосаедра — тому ${\displaystyle N(3)\geqslant 12}$. Ця нижня оцінка була відома ще Ньютону.

Це розташування нещільне, між кулями будуть досить помітні зазори. Оцінка зверху стала причиною відомого спору між Ньютоном і Грегорі 1694 року. Ньютон стверджував, що ${\displaystyle N(3)=12}$, А Грегорі заперечував, що може статись, що можна розташувати і 13 куль. Він провів обчислення і з'ясував, що площа центральної кулі більше ніж у 14 разів перевищує площу проєкцій усіх дотичних куль, так що ${\displaystyle N(3)\leqslant 14}$. Якщо ж дозволити змінювати радіуси куль на 2 %, то виявляється можливим притулити до 14 куль.

Лише 1953 року в статті Шютте і ван дер Вардена[4] остаточно встановлено правоту Ньютона, попри відсутність у того суворого доведення.

У чотиривимірному випадку уявити собі кулі досить складно. Розміщення 24 чотиривимірних сфер навколо центральної було відоме давно^{[джерело?]}. Воно настільки ж правильне, як і в двовимірному випадку і є розв'язком одночасно й задачі про контактне число на ґратці. Це те саме розміщення, що й у цілих одиничних кватерніонів.

У явному вигляді на це розташування вказав у 1900 році Госсет[5]. Ще раніше його знайшли (в еквівалентній задачі) в 1872 році російські математики Коркін і Золотарьов[6][7]. Це розташування дало оцінку знизу ${\displaystyle N(4)\geqslant 24}$.

Спроби оцінити це число зверху привели до розвитку тонких методів теорії функцій, але не давали точного результату. Спочатку вдалося довести, що ${\displaystyle N(4)\leqslant 26}$, Потім вдалося знизити верхню межу до 25. У 2003 році російський математик Олег Мусін довів, що ${\displaystyle N(4)=24}$[8].

У розмірностях 8 і 24 точну оцінку отримано в 1970-і роки[9][10]. Доведення ґрунтується на рівності контактного числа і контактного числа на ґраттці в цих ромірностях: ґратки E8 (для розмірності 8) і ґратки Ліча (для розмірності 24).

Нині точні значення контактних чисел відомі тільки для ${\displaystyle n\leq 4}$, А також для ${\displaystyle n=8}$ і ${\displaystyle n=24}$ . Для деяких інших значень відомі верхні і нижні оцінки.

Задача має практичне застосування в теорії кодування^{[джерело?]}.

• Щільне пакування рівних сфер
• Задача про пакування куль
• Відкриті математичні питання

• Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623) (23 січня).
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6 (23 січня).
• Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219 (23 січня). — С. 44—73.