Щільне пакування рівних сфер

Взявши за точку відліку один з щільноупакованих шарів куль, можна розділити на інші різні типи в залежності від того, як вони розташовані відносного першого шару в сенсі горизонтального зсуву. Таких типів три, та їх прийнято позначати A, B і C.

Щодо рівня з кулею A (див. малюнок нижче) можливі різні положення куль B і C. Будь-яка послідовність позицій A, B і C за шарами без повторення в сусідніх шарах можлива й дає пакування тієї ж щільності.

Найправильніші пакування

• ГЦК = ABCABCA (рівні збігаються через два)
• ГЩ = ABABABA (рівні збігаються через один).

З усім тим, та ж сама щільність пакування може бути досягнута альтернативним пошаровим укладанням тих же щільних пакувань сфер у площині, включаючи структури, які аперіодичні у напрямку укладання шарів. Є незліченна кількість нерегулярних розташування площин (наприклад, ABCACBABABAC…), які іноді називаються «пакуваннями Барлоу», по імені кристалографа Вільяма Барлоу[5].

Порівняння ГЦК і ГЩ пакувань
ГЩ пакування (ліворуч) і ГЦК пакування (праворуч). Контури відповідних ґраток Браве показано червоним. Букви показують, які шари у пакуванні збігаються (не зсуву відносно один одного в горизонтальній площині): так, у ГЩ пакуванні над шаром A розташований шар B, а над ним — знову шар A, в якому сфери лежать на тих же позиціях, що й на інших шарах A. У ГЦК пакуванні показано три шари, й усі вони різні: над шаром A розташований B, над B — C, і лише над C знову буде A. Зауважимо, що ГЦК пакування можна перевести в ГЩ пакування шляхом зсуву шарів, як показано пунктирною лінією.

Показано укладання одинадцяти куль ГЩ ґратки. ГЩ-укладання відрізняється від верхніх трьох шарів ГЦК укладання на правому малюнку тільки нижнім шаром. Вона може бути перетворена в ГЦК-укладання шляхом обертання або зсуву одного з шарів. У реальному кристалі великого розміру таке теж може статися при певних умовах (це буде фазовий перехід).	Кілька шарів ГЦК-укладання. Зауважте, як суміжні кулі вздовж кожного ребра правильного тетраедра розташовані відносно один одного, й порівняйте з ГЩ пакуванням на лівому малюнку.

У щільному пакуванні відстань між центрами сфер у площині щільноупакованого шару дорівнює діаметру сфери. Відстань між центрами сфер у проєкції на вісь, перпендикулярну щільноупакованому шару, дорівнює

${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0,81649658d,}$

де d — діаметр сфери. Це випливає з тетраедрального розташування сфер у щільному пакуванні.

Як у ГЦК, так і в ГЩ укладаннях кожна сфера має дванадцять сусідів (іншими словами, координаційне число для будь-якої сфери в них дорівнює 12). Навколо сфери існують порожні області, оточені шістьма сферами (октаедричні), і менші порожні області, оточені чотирма сферами (тетраедричні). Відстані до центрів цих порожніх ділянок від центрів навкружних сфер дорівнює √³⁄₂ для тетраедричних і √2 для октаедричних^{[джерело не вказане 1604 дні]} просторів, якщо радіус сфери дорівнює 1. ГЦК пакування виходить, якщо в черговому шарі поміщати кулі над октаедричними порожнечами, ГЩ — над деякими тетраедричними.

Анімація побудови ґратки щільного пакування. Зауваження: Якщо кулі третього рівня (рівень не показаний) містяться прямо над кулями першого рівня, то отримаємо ГЩ-ґратку. Якщо кулі третього рівня розташовані над проміжками між кулями першого рівня, то отримаємо ГЦК-ґратку.

Для утворення A-B-A-B-… шестикутного щільного пакування сфер, координати точок ґратки будуть центрами куль пакування. Припустимо, що метою є заповнення коробки сферами згідно зі схемою ГЩ. Коробка розташована у системі координат x-y-z.

Спочатку утворимо ряд сфер, їх центри лежатимуть на одній прямій. Їх x-координати змінюватимуться на величину 2r, оскільки відстань між центрами двох дотичних сфер дорівнює 2r. Для цих куль y-координати і z-координати будуть однаковими. Для простоти припустимо, що y- і z-координати куль першого ряду дорівнюють r, що відповідає розташуванню куль на площинах з нульовими y- і z-координатами. Отже, координати куль першого ряду будуть виглядати як (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .

Тепер формуємо другий ряд сфер. Знову — центри лежатимуть на прямій і x-координати відрізнятимуться на 2r, але кулі будуть зрушені за віссю, так що x-координати центрів дорівнюватимуть координатам точок зіткнення куль першого ряду, що дозволяє кулям другого ряду міститися ближче до куль першого. Оскільки нові сфери торкаються двох сфер, їх центри утворюють рівносторонні (правильні) трикутники з центрами сусідніх куль. Усі довжини сторін дорівнюватимуть 2r, так що різниця між рядами за y-координатою становитиме √3r. Тобто другий рядок матиме координати:

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

Наступний рядок сфер іде за цим шаблоном, зрушуючи ряд за віссю x на величину r і за віссю y на √3. Додаємо ряди, поки не досягнемо кордону скриньки.

У пакуванні A-B-A-B-… площини сфер з непарними номерами матимуть у точності ті ж координати x- та y, змінюються тільки z-координати, що вірно й для парних площин. Обидва види площин утворюються за тією ж самою схемою, але початкове положення першої сфери першого рядка відрізнятиметься.

Використовуємо побудову, описану вище, як шар A. Помістимо сферу поверх цього шару так, що вона торкається трьох сфер шару A. Ці три сфери вже торкаються один одного, утворюючи рівносторонній трикутник. Оскільки ці три сфери торкається доданої сфери, чотири центри утворюють правильний тетраедр[6], усі сторони якого дорівнюють 2r. Висота цього тетраедра є різницею z-координати між двома шарами і дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}$. Комбінація з x- і y-координатами дає центри першого ряду площини B:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Координати другого ряду йдуть за схемою, описаною вище:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Різниця z-координат до наступного A-шару, знову дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}$, а x- і y-координати дорівнюють координатам першого A-шару[7].

У загальному випадку координати центрів можна записати у вигляді:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

де i, j та k індекси за координатами x, y і z (починаються з нуля).

Можна розглянути аналогічну задачу щільного пакування гиперсфер (чи кіл) в евклідовому просторі розмірності, відмінною від 3. Зокрема, двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл у вершинах паркету, утвореного правильними шестикутниками, в якому кожне коло оточене шістьма іншими. Саме з таких шарів побудовані ГЦК і ГЩ пакування. Щільність цього пакування:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.9069}$[1].

Оптимальне пакування кіл на площині

1940 року було доведено, що це пакування є найщільнішим.

2016 року український математик Марина В'язовська вирішила задачу про пакування куль у просторах старших розмірностей — восьмивимірному[8][9][10] та, у співавторстві, в 24-мірному[11][12]. Рішення Вязовської восьмивимірного випадку займає 23 сторінки і є «приголомшливо простим»[12] у порівнянні з 300-сторінковим текстом і використанням 50 000 рядків програмного коду при викладі доказу гіпотези Кеплера[13] для тривимірного простору.

Найвища щільність відома тільки для розмірностей простору 1 (укладання впритул), 2 (трикутна ґратка), 3 (ГЦК, ГЩ та інші пакування, побудовані з шарів трикутної ґратки), 8 (ґратка E8) і 24 (ґратка Ліча)[14].

ГЦК і ГЩ пакування є найщільнішими відомими пакуваннями однакових сфер з максимальною симетрією (найменшою одиницею повторення). Щільніші пакування куль відомі, але в них використовуються сфери різних діаметрів. Для упаковок з щільністю 1, заповнюють простір повністю, потрібно несферичні тіла, такі як стільники, або нескінченна кількість сфер у кінцевому обсязі (сітка Аполлонія).

Якщо замінити кожну точку дотику двох сфер ребром, що з'єднує центри дотичних сфер, отримаємо тетраедри і октаедри з однаковими довжинами сторін. ГЦК укладання дає тетраедрально-октаедральний стільник. ГЩ укладання дає повернені тетраедрально-октаедральний стільник. Якщо, замість цього, будь-яка сфера розширюється точками, які ближче до неї, ніж до будь-якої іншої сфери, виходять двоїсті стільник — ромбододекаедральний стільник для ГЦК і трапецієромбічний додекаедральний стільникдля ГЩ.

Сферичні бульбашки в мильній воді за схемою ГЦК або ГЩ, коли вода між бульбашками висихає, також приймають форму ромбододекаедрального або трапецієромбічного додекаедрального стільників. Однак такі ГЦК або ГЩ піни з дуже малим вмістом рідини нестабільні, оскільки для них не виконується закон Плате. Піна Кельвіна та структура Вейра й Пелана стійкіші, маючи меншу міжгранчасту енергію при малій кількості рідини[15].