Відкриті математичні питання

Нерозв'язані пробле́ми (або Відкриті проблеми) — гіпотези, що видаються вірними, але дотепер не доведені.

У науковому світі популярна практика складання відомими вченими або організаціями списків відкритих проблем, актуальних на сучасний момент. Зокрема, відомими списки математичних проблем є: Проблеми Гільберта, Проблеми Ландау, Проблеми тисячоліття та Велика Теорема Ситника. Згодом опубліковані проблеми з такого списку можуть бути розв'язані і, таким чином, втратити статус відкритих. Наприклад, більшість із проблем Гільберта, представлених ним у 1900 році, тепер так чи інакше розв'язані.

Теорія чисел

Гіпотези про прості числа

Сильна гіпотеза Гольдбаха. Кожне парне число, більше 2, можна представити у виді суми двох простих чисел.
Слабка гіпотеза Гольдбаха. Кожне непарне число, більше 5, можна представити у виді суми трьох простих чисел (доведена для всіх досить великих непарних чисел).
Відкритим є питання нескінченності кількості простих чисел у кожній з наступних послідовностей:

Послідовність	Назва
$2^{n}-1$	числа Мерсена
$n^{2}+1$	4-а проблема Ландау
$n\cdot 2^{n}+1$	числа Каллена
$2^{2^{n}}+1$	числа Ферма
$F_{n}$	числа Фібоначчі
пари (n, n+2)	прості числа-близнюки
пари (n, 2n+1)	прості числа Софі Жермен

Гіпотези про досконалі числа

Не існує непарних досконалих чисел.
Існує нескінченна кількість досконалих чисел.

Гіпотези про дружні числа

Не існує взаємно простих дружніх чисел.
Будь-яка пара дружніх чисел має однакову парність.

Інші гіпотези

Злегка надлишкових чисел не існує.
Паралелепіпеда з трьома цілочисловими ребрами і чотирма цілочисловими діагоналями не існує.
Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1).
Гіпотеза Сінгмастера. Позначимо через $N(a)$ кількість разів, що натуральне число $a$ , більше одиниці, зустрічається в трикутнику Паскаля. Девід Сінгмастер показав, що $N(a)=O(\ln a)$ , що було покращено до $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{-3}\ln a)$ . Чи вірно більш сильне твердження $N(a)=O(1)$ ?

Геометрія

У задачі про переміщення канапи не доведена максимальність найкращої оцінки знизу (константи Гервера).
Задача про 9 кіл. Не існує 9 кіл, таких, що кожні два перетинаються, і центр кожного кола лежить поза іншими колами. (Час виконання алгоритму перевірки — занадто великий)
Гіпотеза Тепліца. Многокутник P вписаний в криву Жордана C, якщо всі вершини P належать C. Чи можна на кожній кривій Жордана відшукати вписаний квадрат?

Алгебра

Зворотна теорема теорії Галуа. Для будь-якої скінченної групи H існують поля F і G, такі, що G є розширенням F і Gal(G/F) ізоморфна H.
Будь-яка скінченнопредставлена група, кожен елемент якої має скінченний порядок, — скінченна.

Для скінченнопородженої групи (більш слабка умова) це неправильно.[1]

Аналіз

Стала Ейлера-Маскероні — ірраціональна.
Числа $e+\pi$ і $e\pi$ — ірраціональні.
Гіпотеза Рімана. Усі нетривіальні нулі дзета-функції лежать на прямій Re(z)=½.
Дотепер нічого не відомо про нормальність таких чисел, як $\pi$ і $e$

Комбінаторика

Існування матриці Адамара порядку, кратного 4.
Існування скінченної проективної площини будь-якого натурального порядку.
Гіпотеза Кацети-Хагвіста.
Невідомо кількість обходів шахівниці конем.

Аксіоматична теорія множин

У даний час найбільш розповсюдженою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело — Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

Обчислювальна математика

Визначити граничний рівень апроксимації n-стадійного методу Рунге-Кутти (1-стадійний = метод Ейлера = O(h), 2-стадійний = модифікований метод Ейлера = O(h²), 4-стадійний = класичний метод Рунге-Кутти = O(h^4), 5-стадійний = метод Фельберга = теж O(h^4)).

Відомі проблеми, недавно розв'язані

Див. також

Проблеми Ландау
Проблеми тисячоліття
Проблеми Гільберта
Список найважливіших наукових проблем

Примітки

http://arxiv.org/abs/math.GR/0607384 Rostislav Grigorchuk and Igor Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners arXiv

Література

Станислав Мартин Улам. Нерешённые математические задачи = A Collection of Mathematical Problems / Перевод с английского З. Я. Шапиро. — Москва : «Наука», 1964. — 168 с. — (Современные проблемы математики) — 12 000 прим. (рос.)

Посилання

Open Problem Garden(англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ttp://arxiv.org/abs/math.GR/0607384 Rostislav Grigorchuk and Igor Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners arXiv