Лема Зариського

Припустимо спершу, що ${\displaystyle L=K(v)}$ для деякого ${\displaystyle v\in L.}$ Тоді кільце ${\displaystyle K[v]}$ є ізоморфним кільцю ${\displaystyle K[X]/(F),}$ де ${\displaystyle K[X]}$ — кільце многочленів над K і${\displaystyle F\in K[X],}$ оскільки ${\displaystyle K[X]}$ є кільцем головних ідеалів. Також ${\displaystyle (F)}$ є простим ідеалом.

${\displaystyle (F)}$ не може бути рівним нулю. Дійсно в цьому випадку ${\displaystyle L=K(X)}$ і це суперечить тому, що L є скінченно породженою алгеброю над K. Справді ${\displaystyle K(X)}$ не є скінченно породженою алгеброю над K оскільки якщо вибрати спільний знаменник b породжуючих елементів, то будь-який елемент ${\displaystyle p\in K(X),}$ знаменник якого не ділить жодного степеня b не може бути записаний через ці породжуючі елементи.

Отже, ${\displaystyle (F)}$ є ненульовим простим ідеалом. ${\displaystyle F}$ є незвідним многочленом, старший коефіцієнт якого можна вважати рівним 1. Ідеал ${\displaystyle (F)}$ є максимальним ідеалом і тому ${\displaystyle K[v]=K[X]/(F)}$ є полем, тобто ${\displaystyle K[v]=K(v).}$ Також ${\displaystyle F(v)=0,}$ тобто v є алгебраїчним елементом і ${\displaystyle L=K(v)}$ є скінченним розширенням поля K.

Припустимо тепер, що твердження теореми справедливе для випадку коли L є скінченно породженою алгеброю з n — 1 породжуючим елементом і доведемо, що твердження справедливе і для ${\displaystyle L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}].}$ Позначимо ${\displaystyle K_{1}=K(v_{1}).}$ Тоді з припущення індукції ${\displaystyle L=K_{1}[v_{2},\ldots ,v_{n}]}$ є скінченним розширенням поля ${\displaystyle K_{1}.}$ Якщо також ${\displaystyle K_{1}}$ є алгебраїчним розширенням, то воно є скінченним і ${\displaystyle L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}]}$ тоді теж є скінченним, оскільки у послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.

Тому припустимо, що ${\displaystyle K_{1}}$ не є алгебраїчним розширенням і тоді воно ізоморфно полю ${\displaystyle K(X).}$ Кожен елемент ${\displaystyle v_{i},\;i=2,\ldots ,n}$ є алгебраїчним над ${\displaystyle K_{1},}$ тобто виконується рівність:

${\displaystyle v_{i}^{n_{i}}+a_{i1}v_{i}^{n_{i}-1}+\ldots =0,\;a_{ij}\in K_{1}.}$

Позначивши як a добуток знаменників всіх ${\displaystyle a_{ij}}$ в рівностях вище маємо також:

${\displaystyle (av_{i})^{n_{i}}+aa_{i1}(av_{i})^{n_{i}-1}+\ldots =0.}$

Оскільки з попереднього ${\displaystyle aa_{ij}\in K[v_{1}]}$ то всі елементи ${\displaystyle av_{i}}$ є алгебраїчними цілими над ${\displaystyle K[v_{1}].}$ Оскільки алгебраїчні цілі утворюють кільце, то для кожного ${\displaystyle z\in K[v_{1},\ldots ,v_{n}]}$ існує ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$ таке що ${\displaystyle a^{m}z}$ є алгебраїчним цілим над ${\displaystyle K[v_{1}].}$

Зокрема, оскільки ${\displaystyle K(v_{1})\subset K[v_{1},\ldots ,v_{n}],}$ то це твердження є справедливим і для ${\displaystyle K(v_{1}).}$ Проте за припущенням ${\displaystyle K(v_{1})}$ є ізоморфним полю ${\displaystyle K(X)}$ і ${\displaystyle K[v_{1}]}$ є ізоморфним кільцю ${\displaystyle K[X].}$ Елемент поля ${\displaystyle K(X)}$ є алгебраїчним цілим над ${\displaystyle K[X]}$ тоді і тільки тоді коли він належить ${\displaystyle K[X].}$ Дійсно якщо ${\displaystyle z=F/G\in K(X),}$ де ${\displaystyle F,G\in K[X]}$ — взаємно прості многочлени, то з ${\displaystyle z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots =0}$ випливає ${\displaystyle F^{n}+a_{1}F^{n-1}G+\ldots =0,}$ тому G ділить F і відповідно G = 1. Зокрема, якщо знаменник ${\displaystyle z}$ не ділить ${\displaystyle a}$, то ${\displaystyle a^{m}z}$ не може бути алгебраїчним цілим для довільного ${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$

Тому з усіх цих властивостей маємо, що ${\displaystyle K(v_{1})}$ не може бути ізоморфним ${\displaystyle K(X)}$ і відповідно ${\displaystyle K_{1}}$ є алгебраїчним розширенням, що завершує доведення.

• Теорема Гільберта про нулі

• William Fulton. Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry New York: Benjamin, 1969. Reprint ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3. Електронна версія.(англ.)