Ціле алгебраїчне число

• Ґаусові цілі числа.
• Корені з одиниці — корені многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ над полем комплексних чисел.
• Всі раціональні числа, що входять в ${\displaystyle \Omega }$, є цілими числами. Іншими словами, жоден нескоротний дріб ${\displaystyle m/n}$ із знаменником, більшим ніж одиниця, не може бути цілим алгебраїчним числом.

• По відношенню до додавання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце ${\displaystyle \Omega }$. Очевидно ${\displaystyle \Omega }$ є підкільцем поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа. Дане кільце є кільцем Дедекінда.
• Нехай ${\displaystyle u}$ — деяке комплексне число. Розглянемо кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$, породжене додаванням ${\displaystyle u}$ до кільця звичайних цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Воно утворене всілякими значеннями ${\displaystyle f(u)}$, де ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число ${\displaystyle u}$ є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$ — скінченнопороджена абелева група.

• ${\displaystyle \alpha \in K}$ є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді коли існує скінченнопороджений ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-підмодуль ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$ такий що ${\displaystyle \alpha M\subseteq M}$.

• Для кожного алгебраїчного числа ${\displaystyle u}$ існує натуральне число ${\displaystyle n}$ таке, що ${\displaystyle nu}$ — ціле алгебраїчне число. Тобто поле алгебраїчних чисел є полем часток кільця цілих алгебраїчних чисел.
• Як і для всіх алгебраїчних чисел для довільного цілого алгебраїчного числа ${\displaystyle \alpha }$ існує мінімальний многочлен, тобто многочлен ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Q} [x]}$ найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого виконується f(α) = 0. Для цілих алгебраїчних чисел і тільки для них при цьому всі коефіцієнти цього многочлена насправді будуть цілими числами, тобто ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x].}$ Всі інші корені f(x) теж будуть цілими алгебраїчними числами для яких f(x) буде мінімальним многочленом. Такі числа називаються спряженими до ${\displaystyle \alpha }$.
• Корені многочлена з цілими алгебраїчними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 є цілими алгебраїчними числами, зокрема корінь будь-якого степеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.
• Кільце цілих алгебраїчних чисел є цілозамкнутим. Воно є цілим замиканням кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ звичайних (раціональних цілих чисел.)
• Кільце цілих алгебраїчних чисел є кільцем Безу.
• Дійсні цілі алгебраїчні числа утворюють всюди щільну підмножину дійсних чисел.

Ціле алгебраїчне число ε називається алгебраїчною одиницею (коротко — одиницею), якщо воно є оборотним в кільці цілих алгебраїчних чисел, тобто якщо 1/ε — ціле алгебраїчне число. Одиниця ділить будь-яке ціле алгебраїчне число. Число, обернене до одиниці теж є одиницею; числа спряжені з одиницею, є одиницями; кожен дільник одиниці є одиницею; добуток скінченної кількості одиниць є одиницею. Ціле алгебраїчне число буде одиницею тоді і тільки тоді, коли добуток всіх його спряжених рівне ${\displaystyle \pm 1}$. Корені k-го степеня з числа 1 є одиницями, причому кожна з них по модулю рівна 1. Існує нескінченна множина інших одиниць, не рівних по модулю 1. Наприклад, числа ${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$ і ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$ є одиницями як корені многочлена ${\displaystyle x^{2}-4x+1\,}$.

Два цілих алгебраїчних числа називаються асоційованими якщо вони відрізняються множником, що є одиницею. Є ще одна важлива відмінність кільця цілих алгебраїчних чисел від кільця цілих раціональних чисел. У першому не можна ввести поняття нерозкладного цілого числа (аналог простого числа). Це випливає хоч би з того, що корінь з будь-якого цілого алгебраїчного числа є цілим алгебраїчним числом.

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes