Лема Пуанкаре

Нехай ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ — відкрита стягувана множина, ${\displaystyle \mathrm {d} }$ позначатиме зовнішнє диференціювання на множині диференціальних форм визначених на ${\displaystyle U.}$ Тоді когомологічні групи де Рама рівні:

${\displaystyle H_{dR}^{k}(U)={\begin{cases}0,&k>0\\\mathbb {R} ,&k=0.\end{cases}}}$

Тобто для ${\displaystyle k>0}$ кожна замкнута диференціальна k-форма є точною.

Важливим наслідком леми є факт, що на довільному гладкому многовиді довільна замкнута диференціальна форма є локально точною.

Доведення буде подано для часткового випадку зірчатих щодо початку координат областей (цього достатньо, зокрема, для доведення локальної точності замкнутих диференціальних форм).

Для доведення очевидно достатньо побудувати такі лінійні оператори ${\displaystyle h_{k}:\Omega ^{k+1}(U)\rightarrow \Omega ^{k}(U),\;\;k\geqslant 0,}$ для яких виконуються рівності ${\displaystyle (\mathrm {d} \circ h_{k-1}+h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0.}$

Оскільки дані оператори будуть лінійними достатньо визначити їх на диференціальних формах виду ${\displaystyle \omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}$

Для такої диференціальної k-форми означимо

${\displaystyle h_{k}(\omega )(x)=\left(\int _{0}^{1}t^{k}g(tx)dt\right)\mu (x)}$

де ${\displaystyle \mu =\omega =x_{i_{1}}\;\mathrm {d} x_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-x_{i_{2}}\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{3}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}+\cdots +(-1)^{k}x_{i_{1}}\;\mathrm {d} x_{i_{k}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k-1}}.}$

Неважко переконатися, що ${\displaystyle \mathrm {d} \mu =(k+1)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}$

Тепер для ${\displaystyle \omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\in \Omega ^{k}(U),\;\;x\in U}$ обчислюємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \circ h_{k-1}(\omega )(x)=&\mathrm {d} \left[\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}{\partial \over \partial x_{j}}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.\\\end{aligned}}}$

З іншої сторони маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{k}\circ \mathrm {d} (\omega )(x)&=h_{k}\left[\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}\,\mathrm {d} x_{i_{j}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\left[x_{j}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \right].\\\end{aligned}}}$

З цих двох виразів отримуємо зрештою

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {d} \circ h_{k}+h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )(x)=&\left[k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)+\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)x_{j}dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left(kt^{k-1}g(tx)+t^{k}{d \over dt}(g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left({d \over dt}(t^{k}g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&g(x)\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\omega (x),\;\;\forall x\in U.\\\end{aligned}}}$

Продовжуючи лінійно визначені оператори маємо ${\displaystyle (\mathrm {d} \circ h_{k}+h_{k+1}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0,}$ що завершує доведення.

• do Carmo M. Differential Forms and Applications. — Springer Verlag, 1994. — ISBN 978-3540576181.
• Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — ISBN 0-387-90202-3.