Когомологія де Рама

Нехай M — гладкий многовид розмірності n. Позначимо ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ — простір гладких диференціальних форм степеня k на многовиді M. В локальних координатах диференціальна форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ записується у вигляді

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

де ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ — гладкі функції ${\displaystyle dx_{i}}$ — диференціал ${\displaystyle i}$-ї координати ${\displaystyle x_{i}}$, а ${\displaystyle \wedge }$ — зовнішній добуток.

Для k > n всі диференціальні форми рівні нулю. Для ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$ множина диференціальних форм є векторним простором розмірності ${\displaystyle C_{n}^{k}.}$

Для всіх ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$ природно визначається оператор ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$, що називається зовнішньою похідною і в локальних координатах для ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ можна записати за допомогою формули:

${\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.}$

З запису в локальних координатах одразу отримується рівність ${\displaystyle d(d\omega )=0}$ для всіх диференціальних форм або ${\displaystyle d\circ d=0.}$

З використанням введених вище позначень можна розглянути комплекс де Рама — коланцюговий комплекс визначений як:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots .}$

З того, що ${\displaystyle d\circ d=0}$ випливає що ${\displaystyle \mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.}$

Диференціальна форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ називається замкнутою, якщо ${\displaystyle d\omega =0.}$ Простір замкнутих k-форм на многовиді M позначається ${\displaystyle Z^{k}(M).}$

Диференціальна форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ називається точною, якщо існує диференціальна форма ${\displaystyle {\bar {\omega }}\in \Omega ^{k-1}(M),}$ така, що ${\displaystyle \omega =d{\bar {\omega }}.}$ Простір точних k-форм на многовиді M позначається ${\displaystyle B^{k}(M).}$

Множини ${\displaystyle Z^{k}(M)}$ і ${\displaystyle B^{k}(M)}$ є дійсними векторними просторами і до того ж з включення ${\displaystyle \mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.}$ випливає, що простір точних форм є підпростором простору замкнутих форм.

Тому можна визначити фактор-простір

${\displaystyle H_{dR}^{k}(M)\ =\ Z^{k}(M)\,/\,B^{k}(M).}$

${\displaystyle H_{dR}^{k}(M)}$ називається когомологічною групою де Рама порядку k.

Дві замкнуті форми ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in Z^{k}(M)}$ належать одному класу еквівалентності ${\displaystyle [\omega ]\in H_{dR}^{k}(M)}$ тоді й лише тоді, коли їх різниця є точною диференціальною формою: ${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}\in B^{k}(M).}$

Розмірність простору ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M)}$, якщо вона є скінченною (це справедливо зокрема для когомологічних груп довільного порядку для компактних многовидів) називається k-м числом Бетті.

Для довільного многовиду з n компонентами зв'язності справедливе твердження:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{n}.}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,\\0&k>0.\end{cases}}}$

Для n-сфери, Sⁿ, а також для її добутку з гіперкубом, можна легко обчислити когомології де Рама. Нехай n > 0, m ? 0, і I — відкритий інтервал дійсних чисел. Тоді

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n,\\0&k\neq 0,n.\end{cases}}}$

Для n > 0 когомології де Рама для n-тора рівні

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

Проколотий евклідів простір — евклідів простір з видаленим початком координат.

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} ,H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n-1\\0&k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}}$

Для стрічки Мебіуса:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

Розглянемо тепер многовид M з гладкою триангуляцією, тобто гомеоморфізмом ${\displaystyle h:[K]\to M,}$ де [K] — деякий симпліціальний комплекс, так що для будь-якого симплекса ${\displaystyle s\in [K]}$ для замикання симплекса [s] існує окіл U, що містить [s] і ${\displaystyle h(U)\subset M}$ є гладким підмноговидом в M. Тоді M стає сингулярним комплексом і на ньому можна визначити коланцюговий комплекс (див. статтю Сингулярні гомології):

${\displaystyle 0\to C^{0}(M,\mathbb {R} ){\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{1}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{2}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{3}(M,\mathbb {R} )\to \cdots .}$

Елементами ${\displaystyle C^{k}(M,\mathbb {R} )}$ є лінійні функціонали на просторі формальних сум сингулярних симплексів розмірності k.

Як і для когомологій де Рама ${\displaystyle \partial ^{*}\circ \partial ^{*}=0,}$ а тому можна аналогічно ввести простори ${\displaystyle Z^{k}(M,\mathbb {R} ),\,B^{k}(M,\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )\ =\ Z^{k}(M,\mathbb {R} )\,/\,B^{k}(M,\mathbb {R} ).}$

Останні простори називаються сингулярними когомологіями. На відміну від когомологій де Рама, визначення яких здійснено за допомогою диференційовної структури на многовиді, визначення сингулярних когомологій — суто топологічне. Попри це ці когомології є ізоморфними.

Нехай маємо многовид M з гладкою триангуляцією і з визначеними як вище когомологіями де Рама і сингулярною. Введемо тепер лінійне відображення ${\displaystyle \int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )}$ визначене для всіх гомологічних груп одного порядку. Для цього достатньо визначити гомоморфізми ${\displaystyle \int$ :\Omega ^{k}(M)\to C^{k}(M,\mathbb {R} ),} що задовольняють рівності ${\displaystyle \partial ^{*}\circ \int =\int \circ d.}$

Дійсно тоді ${\displaystyle \int (Z^{k}(M))\subset Z^{k}(M,\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle \int (B^{k}(M))\subset B^{k}(M,\mathbb {R} ),}$ тож гомоморфізм ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )}$ буде коректно визначений.

Для диференціальної форми ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ значенням ${\displaystyle \int (\omega )}$ має бути лінійний функціонал на множині формальних сум орієнтовних сингулярних симплексів розмірності k. Зважаючи на властивості лінійності цей функціонал можна задати лише на базових орієнтовних сингулярних. З визначення триангуляції многовида кожен такий симплекс <s> є частиною деякого підмноговида в M. На цьому підмноговиді можна визначити звуження ${\displaystyle \omega }$ і тоді прийняти:

${\displaystyle \int (\omega )<s>=\int _{s}\omega .}$

Рівності ${\displaystyle \partial ^{*}\circ \int =\int \circ d}$ при подібному визначенні є простими наслідками теореми Стокса.

Теорема де Рама стверджує, що відображення ${\displaystyle \int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )}$ визначене вище є ізоморфізмом між гомологіями де Рама і сингулярними гомологіями для всіх k.

Аналогічно як у випадку гладкого многовида для кожного алгебраїчного многовида ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ можна визначити комплекс регулярних диференціальних форм.

Групами когомологій де Рама многовида ${\displaystyle X}$ называються групи когомологій ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)}$.

• Якщо ${\displaystyle X}$ є гладким і повним многовидом, а характеристика поля ${\displaystyle \mathrm {char} \,k=0}$, то когомології де Рама є когомологіями Вейля.
• Якщо многовид ${\displaystyle X}$ є гладким афінним многовидом, а поле ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, то справедливим є аналог теореми де Рама:

  ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),}$

де ${\displaystyle X_{an}}$ — комплексний аналітичний многовид, що відповідає многовиду ${\displaystyle X}$.

• Наприклад якщо ${\displaystyle X}$ — доповнення до алгебраїчної гіперповерхні в ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$, то когомології ${\displaystyle H^{p}(X,\;\mathbb {C} )}$ можна обрахувати за допомогою раціональних диференціальних форм на ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$ с полюсами на цій гіперповерхні.

Для будь-якого морфізму ${\displaystyle f\colon X\to S}$ можна визначити так званий відносний комплекс де Рама

${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),}$

і відповідні відносні когомології де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$.

У випадку якщо многовид ${\displaystyle X}$ є спектром кільця ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$, а ${\displaystyle S=\mathrm {Spec} \,B}$, то відносний комплекс де Рама рівний ${\displaystyle \Lambda \Omega _{A/B}^{1}}$.

Когомології ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$ комплексу пучків ${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}}$ на ${\displaystyle S}$ називаються пучками відносних когомологій де Рама. Якщо ${\displaystyle f}$ — власний морфізм, то ці пучки когерентні на ${\displaystyle S}$.