Лемніската Бута

Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle c}$. Якщо ${\displaystyle c>2m^{2}}$, то рівняння лемніскати набуде вигляду

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}}$, де ${\displaystyle a^{2}=2m^{2}+c}$ і ${\displaystyle b^{2}=c-2m^{2}.}$

У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

${\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .}$

Якщо ${\displaystyle c<2m^{2}}$, то рівняння лемніскати набуде виду

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}}$, де ${\displaystyle a^{2}=2m^{2}+c}$ і ${\displaystyle b^{2}=2m^{2}-c.}$

У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

${\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .}$

• При ${\displaystyle c=2m^{2}}$ лемніската Бута вироджується у два кола ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\pm 2mx=0.}$
• При ${\displaystyle c=0}$ лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі.

• Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=cz}$ з поверхнею конуса ${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.}$
• Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку ${\displaystyle a^{2}x^{2}\pm b^{2}y^{2}=k^{4}}$ з центром у початку координат.

За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:

${\displaystyle 2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).}$

Для гіперболічної лемніскати:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}+{\frac {ab}{2}}.}$

• Лемніската Бернуллі
• Овал Кассіні

• А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / Под ред. А. П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960. — С. 144—146.
• Математическая энциклопедия / Под. ред. И. М. Виноградова. — Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 566.
• Weisstein, Eric W. Hippopede(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Courbe de Booth(фр.)