Овал Кассіні

Випадок зміни параметру ${\displaystyle a}$

Випадок зміни параметру ${\displaystyle c}$

Позначимо відстань між фокусами ${\displaystyle 2c}$.

• В прямокутних координатах неявна крива:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$.

• У явному вигляді рівняння в прямокутних координатах:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$.

• В полярній системі координат:

${\displaystyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}}$.

У рівнянні кривої містяться два незалежних параметри: ${\displaystyle c}$ — половина відстані між фокусами і ${\displaystyle a}$ — добуток відстаней від фокусів до будь-якої точки кривої. З точки зору форми найсуттєвішим є відношення параметрів, а не їх величини, які при сталому відношенні визначають лише розмір фігури. Можна виділити шість різновидів форми залежно від величини відношення ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$:

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=\infty }$, тобто ${\displaystyle \textstyle a=0}$ при ${\displaystyle \textstyle c\neq 0}$.

Крива вироджується до двох точок, що збігаються з фокусами. При ${\displaystyle c\to \infty }$ форма кривої прямує до двох точок.

• ${\displaystyle \textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty }$, тобто ${\displaystyle \textstyle 0<a<c}$

Крива розпадається на два окремих овали, кожний з яких витягнений у напрямі іншого і за формою нагадує яйце.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=1}$, тобто ${\displaystyle \textstyle a=c}$

Права частина рівняння в прямокутних координатах (див. вище) перетворюється в нуль, і крива стає лемніскатою Бернуллі.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1}$, тобто ${\displaystyle \textstyle c<a<c{\sqrt {2}}}$

У кривої з'являються чотири симетричні точки перегину (по одній у кожній координатній чверті). Кривина в точках перетину з віссю ${\displaystyle OY}$ прямує до нуля, коли ${\displaystyle a}$ прямує до ${\displaystyle c}$ і до нескінченності, коли ${\displaystyle a}$ прямує до ${\displaystyle c{\sqrt {2}}}$.

• ${\displaystyle \textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, тобто ${\displaystyle \textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}}$

Крива стає овалом, тобто опуклою замкнутою кривою.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=0}$, тобто ${\displaystyle \textstyle c=0}$ при ${\displaystyle \textstyle a\neq 0}$

Із збільшенням ${\displaystyle a}$ (коли відношення ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ прямує до нуля) крива прямує до кола радіусом ${\displaystyle a}$. Якщо ${\displaystyle c=0}$, то відношення ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ досягає нуля, і в цьому випадку крива вироджується у коло.

Чорне коло — множина максимумів і мінімумів; синя лемніската — множина точок перегину

• Овал Кассіні — алгебрична крива четвертого порядку.
• Вона є симетричною відносно середини відрізка між фокусами.
• При ${\displaystyle 0<a<c{\sqrt {2}}}$ має два абсолютних максимуми і два мінімуми:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4c^{4}-a^{4}}}{2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2}}{2c}}\end{cases}}}$

Геометричне місце точок абсолютних максимумів і мінімумів — коло радіусом ${\displaystyle c}$ з центром посередині відрізка між фокусами.

• При ${\displaystyle c<a\leqslant c{\sqrt {2}}}$ крива має чотири точки перегину. Їх полярні координати:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt[{4}]{\frac {a^{4}-c^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}}$

Геометричне місце точок перегину — лемніската з вершинами ${\displaystyle \left(0;\pm c\right)}$.

• Радіус кривини для випаду подання у полярних координатах:

${\displaystyle R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}}$

Овал Кассіні є частковим випадком кривої Персея.

Зокрема, рівняння кривої Персея у декартовій системі координат

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c}$.

при ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4}}$ перетворюється у рівняння овала Кассіні

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

• Лемніската
• Лемніската Бернуллі
• Овал
• Еліпс

• MacTutor description (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cassini Ovals(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
• 2Dcurves.com description (англ.)
• "Ovale de Cassini" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.)