Лемніската Бернуллі

Фокуси лемнискати — ${\displaystyle F_{1}(-c;0)}$ і ${\displaystyle F_{2}(c;0)}$. Візьмемо довільну точку ${\displaystyle M(x;y)}$. Добуток відстаней від фокусів до точки ${\displaystyle M}$ є

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$,

і за означенням вона дорівнює ${\displaystyle c^{2}}$:

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}}$

Піднесемо в квадрат дві частини рівності:

${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}}$

Розкриємо дужки в лівій частині:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}}$

Розкриємо дужки і згорнемо новий квадрат суми

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0}$

Винесемо спільний множник і перенесемо:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Далі можна зробити заміну ${\displaystyle a^{2}=2c^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$

В даному випадку ${\displaystyle a}$ — радіус поверхні, що описує лемніскату.

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Піднесемо в квадрат і розкриємо дужки:

${\displaystyle \textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}}$

Приведемо до вигляду

${\displaystyle \textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0}$

Це квадратне рівняння відносно ${\displaystyle y^{2}}$. Розв'язавши його, отримаємо

${\displaystyle \textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+2x^{2}c^{2}}}}$

Взявши корінь і відкинувши варіант з від'ємною другою змінною, отримаємо:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$

де додатній варіант визначає верхню половину лемніскати, від'ємний — нижню.

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Використовуючи формули переходу до полярної системи координат ${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}$ отримаємо:

${\displaystyle {\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}}$

Винесемо спільні множники і використаємо тригонометричну тотожність ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )}$

Використаємо ще одну тотожність: ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha }$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi }$

Поділимо на ${\displaystyle \rho ^{2}}$, вважаючи, що ${\displaystyle \rho \neq 0}$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi }$

Як і в випадку прямокутної системи можна замінити ${\displaystyle a^{2}=2c^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi }$

Нехай, наприклад, ${\displaystyle F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)}$ — фокуси.

Існує прямокутна система координат (на малюнку — ${\displaystyle \textstyle x''Oy''}$), в якій рівняння лемніскати має вигляд

${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0}$

Необхідно визначити перетворення системи координат, що переводить ${\displaystyle \textstyle xOy}$ в ${\displaystyle \textstyle x''Oy''}$. Це перетворення здійснюється в два етапи: паралельне перенесення і поворот.

Середина відрізка ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ — ${\displaystyle \textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)}$, значить перенос тільки на ${\displaystyle \textstyle +{\frac {1}{2}}}$ по осі ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}}$

Після переносу системи координат її потрібно повернути на деякий кут. Для визначення кута спочатку знайдемо відстань між фокусами:

${\displaystyle 2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5}$

значить ${\displaystyle c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}}$.

Тепер із геометричних міркувань знайдемо синус і косинус кута нахилу ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ к ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })}$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}}$

Формули перетворення:

${\displaystyle {\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}}$

Поєднавши обидва перетворення, отримаємо скінченні формули переходу:

${\displaystyle {\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}}$

Для того, щоб отримати рівняння в стандартній системі координат, підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння кривої:

${\displaystyle \textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0}$

Після перетворень:

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0}$

Це рівняння задає лемніскату з фокусами ${\displaystyle F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)}$ в стандартній прямокутній системі координат.

Рівняння лемніскати в полярній системі:

${\displaystyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }}$

Формули переходу до полярної системи координат:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}}$

Виразимо ${\displaystyle \textstyle \rho }$:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}}$

Підставимо в рівняння лемнискати і виразимо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}}$

—- це параметричне рівняння відносно ${\displaystyle \varphi }$. Проводячи деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно ${\displaystyle \textstyle p}$ Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:

${\displaystyle R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}}$

Знайдемо похідні по ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$

${\displaystyle x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}}$

${\displaystyle y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$

${\displaystyle y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}}$

Підставимо в формулу радіуса:

${\displaystyle R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}}$

Повернемося до рівняння лемніскати:

${\displaystyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}}$

Підставимо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримаємо:

${\displaystyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}}$