Лінійна нерівність
Ліні́йна нері́вність — це нерівність, що використовує лінійні функції. Лінійна нерівність містить один із символів нерівності[1]:
- <- менше
- > — більше
- — менше або дорівнює
- — більше або дорівнює
- — не дорівнює
а також (формально)
- = — дорівнює
Лінійна нерівність виглядає так само, як лінійне рівняння, але замість знака дорівнює ставиться знак нерівності.
Лінійні нерівності дійсних чисел
Двовимірні лінійні нерівності
![](../I/Linearineq1.svg.png.webp)
Двовимірні лінійні нерівності — це вирази вигляду:
- і
де нерівності можуть бути строгими або не строгими. Множину розв'язків такої нерівності можна графічно подати як півплощину (всі точки з «одного боку» від фіксованої прямої) евклідової площини[2]. Пряма, що визначає півплощину (ax + by = c) не включається до розв'язку, якщо нерівність строга. Проста процедура визначення, яка з півплощин є розв'язком — обчислення значення функції ax + by у точці (x0, y0), розташованій поза прямою, і перевірка, чи задовольняє ця точка нерівності.
Наприклад[3], щоб намалювати розв'язок x + 3y <9, спочатку проводимо пряму з рівнянням x + 3y = 9 (пунктирна лінія), щоб показати, що пряма не належить області розв'язків, оскільки нерівність строга. Потім вибираємо зручну точку не на прямій, наприклад, (0,0). Оскільки 0 + 3(0) = 0 <9, то ця точка належить множині розв'язків нерівності і півплощина, що містить цю точку, (півплощина «нижче» прямої) є множиною розв'язків лінійної нерівності.
Лінійні нерівності в просторах вищої розмірності
У просторі Rn лінійні нерівності — це вирази, які можна записати у вигляді
- або
де f — лінійна форма, , А b — стала дійсна величина.
Конкретніше, це можна записати як
або
тут називають невідомими, а називають коефіцієнтами.
Альтернативно, те саме можна записати як
- або
де g — афінна функція[4]
Тобто
або
Зауважимо, що будь-яку нерівність, що містить знаки «більше» чи «більше або дорівнює» можна переписати на нерівність зі знаками «менше» чи «менше або дорівнює», так що немає потреби визначати лінійні нерівності з цими знаками.
Системи лінійних нерівностей
Система лінійних нерівностей — це набір нерівностей з одними і тими самими змінними:
тут — змінні, — коефіцієнти системи, а — сталі члени.
Коротко це можна записати як матричну нерівність
де A — матриця m × n, x — n × 1 вектор-стовпець змінних, а b — m × 1 вектор-стовпець констант.
В описаних вище системах можуть використовуватися як строгі, так і нестрогі нерівності.
Не всі системи лінійних нерівностей мають рішення.
Багатогранники
Множина розв'язків дійсної нерівності утворює півпростір n-вимірного дійсного простору, один із двох півпросторів, визначених відповідним лінійним рівнянням.
Множина розв'язків системи лінійних нерівностей відповідає перетину півпросторів, визначених окремими нерівностями. Вона є опуклою множиною, оскільки півпростори є опуклими множинами, а перетин множини опуклих множин є також опуклою множиною. В невироджених випадках ця опукла множина є опуклим багатогранником (можливо, необмеженим, наприклад, півпростір, пластина між двома паралельними півпросторами або опуклий конус). Вона може бути також порожньою або опуклим багатогранником меншої розмірності, обмеженим афінним підпростором n-вимірного простору Rn.
Лінійне програмування
Задача лінійного програмування шукає оптимум (найбільше або найменше значення) функції (званої цільовою функцією) за деякого набору обмежень на змінні, які, в загальному випадку, є лінійними нерівностями[5]. Список цих обмежень є системою лінійних нерівностей.
Узагальнення
Наведене вище визначення вимагає цілком визначених операцій додавання, множення і порівняння. Тому поняття лінійної нерівності можна поширити на впорядковані кільця і, зокрема, на впорядковані поля . Узагальнення такого типу становлять лише теоретичний інтерес поки застосування цих узагальнень не стануть очевидними.
Див. також
Примітки
- Miller, Heeren, 1986, с. 355.
- Технічно, таке твердження коректне, якщо a і b одночасно нулю не дорівнюють. У разі рівності нулю розв'язком є порожня множина, або вся площина.
- Angel, Porter, 1989, с. 310.
- У разі 2-вимірного простору як лінійну форму, так і афінну функцію історично називають лінійними функціями оскільки їх графіки — прямі лінії. В інших розмірностях жодна з цих функцій не має графіком пряму, так що узагальнення лінійної функції в більш високі розмірності робиться в сенсі алгебричних властивостей і це призводить до поділу на два види функцій. Однак, різниця в цих функціях — просто додана константа.
- Angel, Porter, 1989, с. 373.
Література
- Allen R. Angel, Stuart R. Porter. A Survey of Mathematics with Applications. — 3rd. — Addison-Wesley, 1989. — ISBN 0-201-13696-1.
- Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Mathematical Ideas. — 5th. — Scott, Foresman, 1986. — ISBN 0-673-18276-2.
- Khan Academy: Linear inequalities, free online micro lectures