Лінійна форма

Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (англ. linear form, linear functional, one-form, covector) в лінійній алгебрі лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У , якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо є векторним простором над полем , то лінійний функціонал є функцією з простору в поле , яка є лінійною:

для всіх
для всіх

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору в поле (позначається як ) утворює векторний простір над полем з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору , або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як , або , якщо поле зафіксовано.

Формальне означення

Нехай — векторний простір над полем . Відображення називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

  • однорідним,
  • адитивним,

Еквівалентною умовою є виконання рівності

Неперервні лінійні функціонали

Якщо  топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо  банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних форм

Приклади

  • , що рівна
  • , що рівна

Простір лінійних функціоналів

Множина всіх лінійних форм утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм , і множення на скаляр , що визначені поточково, тобто

і

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору і позначається

Приклади і застосування

Лінійні функціонали в

Нехай вектори дійсного простору представлені у вигляді вектор-стовпців

Для будь-якого вектор-рядка існує лінійний функціонал , визначений наступним чином:

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка і вектора-стовпця

Інтегрування

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

є лінійним функціоналом з векторного простору неперервних на відрізку функцій у простір дійсних чисел. Лінійність випливає із стандартних властивостей інтегралу:

Оцінка

Нехай  — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня визначених на відрізку . Якщо , тоді відображення називається функціоналом оцінки

Відображення лінійне, оскільки

Якщо   різних точок відрізку , то функціонали оцінки , утворюють базис спряженого до простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванні

Функціонал визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі многочленів степеня . Якщо  — це різних точок у , тоді є коефіцієнти для яких

для всіх . Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали утворюють базис спряженого до простору.[1]

Лінійні функціонали в квантовій механіці

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

Розподіли

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналів

  • Будь-який лінійний функціонал є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ при відображені теж буде підпростором.
  • Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.[2]
  • Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
  • Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналів

Геометрична інтерпретація 1-форми як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина      проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Gravitation by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).

Спряжені вектори та білінійні форми

Лінійні функціонали (1-форми) , та їх сума та вектори , , , в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі породжує ізоморфізм  : такий, що

де білінійна форма на позначається як (наприклад, в евклідовому просторі  скалярний добуток і ).

Оберненим ізоморфізмом є , де єдиний елемент такий, що

Базис у скінченних розмірностях

Базис спряженого простору в скінченних розмірностях

Нехай векторний простір має базис , необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір має базис , який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

Або, більш коротко,

де  символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал , що належить спряженому простору , можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) ,

Тоді, застосувавши функціонал до базисного вектора , отримаємо

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добуток

Якщо у просторі визначено скалярний добуток, то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай  — базис простору (необов'язково ортогональний). Для розмірності три спряжений базис можна записати у явному вигляді:

для , де  символ Леві-Чівіта і  скалярний добуток у просторі .

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

де  оператор зірки Ходжа.


Див. також

Примітки

  1. Lax, 1996
  2. Rudin, 1991, Theorem 1.18

Література

  • Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980). Chapter 4. Tensor Analysis on Manifolds. Dover Publications. ISBN 0-486-64039-6.
  • Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4.
  • Lax, Peter (1996). Linear algebra. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-11111-5.
  • Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5.
  • Schutz, Bernard (1985). Chapter 3. A first course in general relativity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27703-5.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.