Півпростір

Півпростір (англ. Half-space) є однією з двох частин, на які площина ділить тривимірний Евклідів простір. У більш загальному, багатовимірному випадку, півпростір є однією з двох частин, на які гіперплощина ділить афінний простір. Тобто точки, які не належать гіперплощині, розподіляються на дві опуклі множини (тобто півпростори), таким чином, що будь-який підпростір, що містить точки з різних півпросторів, повинен перетинати гіперплощину. Наприклад, відрізок, що з'єднує точки з різних півпросторів, повинен перетинати гіперплощину.

Площина ділить простір на два півпростори

Півпростір може бути або відкритим або замкненим. Відкритий півпростір збігається з однією з двох відкритих множин, утворених відніманням гіперплощині від афінного простору. A замкнений півпростір є об'єднанням відкритого півпростору та гіперплощини, що визначає його.

Якщо простір двовимірний, то півпростір називається півплощиною (відкритою або замкненою). Півпростір одновимірного простору називають променем.

Оскільки площину можна описати лінійним рівнянням, то півпростір можна визначити відповідною лінійною нерівністю.

Строга нерівність визначає відкритий півпростір, а нестрога — замкнений:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b}$ — відкритий півпростір

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geqslant b}$ — замкнений

Припускається, що серед дійсних чисел a₁, a₂, …, a_n буде хоча б одне не нульове.