Теорія операторів

Теорія операторів — розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості неперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор — це аналог звичайної функції або матриці в скінченновимірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах.

Відображення ${\displaystyle T}$ з векторного простору ${\displaystyle X}$ у векторний простір ${\displaystyle Y}$ називається лінійним оператором, якщо ${\displaystyle T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)}$ для будь-яких ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ із ${\displaystyle X}$ і будь-яких скалярів ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$. Часто пишуть ${\displaystyle Tx}$ замість ${\displaystyle T(x)}$. Лінійний оператор з нормованого простору ${\displaystyle X}$ в нормований простір ${\displaystyle Y}$ називається обмеженим, якщо знайдеться додатне дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що для всіх ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|Tx\|\leq M\|x\|}$. Найменша така константа ${\displaystyle M}$, яка задовольняє цій умові, називається нормою оператора ${\displaystyle T}$ і позначається ${\displaystyle \|T\|}$. Неважко бачити, що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді, коли він неперервний. Під терміном «оператор» у функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор.

Множина всіх (обмежених лінійних) операторів із нормованого простору ${\displaystyle X}$ в нормований простір ${\displaystyle Y}$ позначається ${\displaystyle L(X,Y)}$. У випадку, коли ${\displaystyle X=Y}$ пишуть ${\displaystyle L(X)}$ замість ${\displaystyle L(X,X)}$. Якщо ${\displaystyle H}$ — Гільбертів простір, то зазвичай пишуть ${\displaystyle B(H)}$ замість ${\displaystyle L(H)}$. На ${\displaystyle L(X,Y)}$ можна ввести структуту векторного простору через ${\displaystyle (T+S)x=Tx+Sx}$ і ${\displaystyle T(\alpha x)=\alpha (Tx)}$, де ${\displaystyle T,S\in L(X,Y)}$, а ${\displaystyle \alpha }$ — довільний скаляр. З введеною вище операторною нормою, ${\displaystyle L(X,Y)}$ перетворюється на нормований простір.

Зокрема, ${\displaystyle \|S+T\|\leq \|S\|+\|T\|}$ і ${\displaystyle \|\alpha T\|=|\alpha |\cdot \|T\|}$ для будь-яких ${\displaystyle T,S\in L(X,Y)}$ і довільного скаляра ${\displaystyle \alpha }$. Простір ${\displaystyle L(X,Y)}$ є Банаховим тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle Y}$ — Банахів.

Нехай ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ і ${\displaystyle Z}$ — нормовані простори, ${\displaystyle T\in L(X,Y)}$ і ${\displaystyle S\in L(X,Y)}$. Композиція ${\displaystyle S}$ і ${\displaystyle T}$ позначається ${\displaystyle TS}$ і називається «добутком» операторів ${\displaystyle S}$ та ${\displaystyle T}$. Відмітимо, що ${\displaystyle TS\in L(X,Z)}$ і ${\displaystyle \|TS\|\leq \|T\|\cdot \|S\|}$. Якщо ${\displaystyle X}$ — Банахів простір, то ${\displaystyle L(X)}$ з введеним вище множенням є Банаховою алгеброю.

У «теорії операторів» можна виділити декілька основних розділів:

1. Спектральна теорія вивчає спектр оператора.
2. Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, Фредгольмові оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори тощо. Вивчають також необмежені оператори і частково визначені оператори, зокрема замкнуті оператори.
3. Оператори на спеціальних нормованих просторах.
   • На Гільбертових просторах вивчають самоспряжені, нормальні, унітарні, додатні оператори та ін.
   • На функціональних просторах: диференціальні, псевдодиференціальні, інтегральні, і псевдоінтегральні оператори; оператори множення, підстановки, підстановки з вагою та ін.
   • На Банахових решітках: додатні оператори, регулярні оператори тощо.
4. Сукупності операторів (тобто, підмножини ${\displaystyle L(X)}$): операторна алгебра, операторні напівгрупи та ін.
5. Теорія інваріантних підпросторів.