Максимальний тор

Максимальний тор зв'язаної дійсної групи Лі — зв'язана компактна комутативна підгрупа Лі в , що не міститься в жодній більшій підгрупі такого типу.

Властивості

  • Як група Лі, максимальний тор є ізоморфним прямому добутку декількох копій (мультиплікативної групи всіх комплексних чисел, рівних по модулю ).
  • Будь-який максимальний тор групи міститься в максимальній компактній підгрупі групи ;
  • Максимальний тор є також максимальною абелевою підгрупою але обернене твердження не є справедливим.
  • Будь-які два максимальних тора групи (так само, як і будь-які дві її максимальні компактні підгрупи) є спряженими в . Відповідно всі максимальні тори мають однакову розмірність, яку називають рангом групи

Випадок компактних груп Лі

Нехай тепер є компактною групою.

  • Об'єднання всіх максимальних торів групи є рівним всій групі ,
  • перетин всіх максимальних торів групи є рівним центру групи .
  • Алгебра Лі максимального тора є максимальною комутативною підалгеброю в алгебрі Лі групи . Більш того,
    • будь-яка максимальна комутативна підалгебра в є алгеброю Лі деякого максимального тора.
Дана максимальна комутативна підалгебра Лі є підалгеброю Картана.

Див. також

Література

  • Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., 1970 (рос.)
  • Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, 3 изд. — М., 1973 (рос.)
  • Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ. — М., 1964 (рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.