Підалгебра Картана

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Лі. Підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є нільпотентною і рівна своєму нормалізатору. Формально ці умови можна записати як:

• ${\displaystyle \underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}]\dotsb ]]]=0}$ для деякого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (нільпотентність)
• ${\displaystyle \forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a}}}$(самонормалізованість).

Еквівалентним є таке означення: нільпотентна підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є рівна своїй нуль-компоненті Фіттінга, тобто множині:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}:=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\forall H\in {\mathfrak {a}}\;\;\exists n_{H,X}\in \mathbb {Z} ,\;\;(\operatorname {ad} H)^{n_{H,X}}(X)=0\right\},}$

де ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ — приєднане представлення групи Лі.

• Підалгебри Картана є максимальними нільпотентними підалгебрами, тобто не містяться у строго більших нільпотентних підалгебрах.
• Довільна скінченновимірна алгебра Лі над нескінченним полем має підалгебру Картана.
• Для скінченновимірної алгебри Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 усі підалгебри Картана є спряженими щодо автоморфізмів алгебри Лі і зокрема є ізоморфними. Розмірність алгебр Картана називається рангом алгебри Лі. У випадку, якщо алгебра Лі є розв'язною, то ці властивості є справедливі і для полів, що не є алгебраїчно замкнутими.
• В тих же припущеннях, що і вище, довільна максимальна нільпотентна підгрупа, розмірність якої рівна рангу алгебри Лі, є підгрупою Картана.
• Образ підалгебри Картана при сюр'єктивному гомоморфізмі алгебр Лі є підалгеброю Картана.
• Нехай для скінченновимірної алгебри Лі над нескінченним полем ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ є регулярним елементом, тобто елементом, для якого нульова компонента Фіттінга ендоморфізму ${\displaystyle \operatorname {ad} X}$ має мінімальну розмірність. Тоді підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {n}}(X,{\mathfrak {g}})}$, елементами якої є ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$, такі, що ${\displaystyle \operatorname {ad} ^{n}X(Y)=0}$ для деякого ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, є підалгеброю Картана. Для полів характеристики 0 всі підалгебри Картана мають вид як для відповідного регулярного елемента ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}$ Кожен регулярний елемент належить одній і тільки одній підгрупі Картана.
• Якщо ${\displaystyle k\subset K}$ є деяким розширенням поля, то підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ є підалгеброю Картана тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes _{k}K}$ є підалгеброю Картана алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}K.}$

• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі рівна своїй підалгебрі Картана.
• Підалгеброю Картана загальної лінійної групи над деяким полем є алгебра діагональних матриць.
• Підалгеброю Картана алгебри Лі

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$

є підалгебра діагональних матриць

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$.

Будь-яка інша підалгебра Картана ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$ є спряженою до ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$.

• Натомість, наприклад, у алгебрі ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ є неспряжені підалгебри Картана, зокрема

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

і

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$.

• Розмірність алгебри Картана загалом не є максимальною розмірністю абелевої підалгебри, навіть для простих алгебр над полем комплексних чисел. Наприклад, алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2n,\mathbb {R} )}$ має підалгебру Картана розмірності 2n−1, але розмірність її абелевої підалгебри, що складається з усіх матриць виду ${\displaystyle {0\ A \choose 0\ 0}}$, де A — довільна матриця розмірності n×n, є рівною n². Ця підалгебра не є підалгеброю Картана, оскільки строго міститься у нільпотентній підалгебрі верхніх трикутних матриць з нульовими діагональними елементами.
• Прикладом максимальної нільпотентної підалгебри, що не є підалгеброю Картана, може бути алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ матриць виду ${\displaystyle \{aI_{n}+N\},}$ де ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,\;\;}$${\displaystyle I_{n}}$ — одинична матриця порядку n, а матриці ${\displaystyle N\in {\mathfrak {n}}}$ є верхніми трикутними з нульовими діагональними елементами. Дані матриці утворюють абелеву підалгебру загальної лінійної групи і можна довести, що ця алгебра є максимальною нільпотентною підалгеброю. Проте, якщо Y є діагональною матрицею, не всі елементи якої є рівними, то ${\displaystyle [Y,X]\in {\mathfrak {n}}\subset {\mathfrak {h}},\;\;\forall X\in {\mathfrak {h}},}$ хоча ${\displaystyle Y\not \in {\mathfrak {h}}}$, і друга вимога в означенні підалгебри Картана не виконується.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є напівпростою алгеброю Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0, тоді підалгебра Картана ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ є абелевою і образи приєднаного представлення ${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$, обмеженого на ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, є одночасно діагоналізовними у множині вагових векторів, до того ж ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ є власним простором, що відповідає вазі ${\displaystyle 0}$. Також справедливим є розклад в пряму суму

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

де

${\displaystyle \left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a}},Y\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

і

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a}}}$.

Зокрема у випадку

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$

якщо позначити ${\displaystyle e_{ij}}$ матрицю з елементом ${\displaystyle 1}$ в позиції ${\displaystyle (i,j)}$ і іншими елементами, рівними ${\displaystyle 0}$, тоді розклад має вид

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

де ${\displaystyle \mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ для ваги

${\displaystyle \alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.