Математичний софізм

Софізми ведуть до осмисленого розуміння математики і, крім того, показують, що математика — це жива наука. Загалом математичні софізми будуються на некоректному слововживанні, на неточності формулювань, дуже часто на неправильному застосуванні теорем, на прихованому виконанні неможливих дій, на незаконних узагальненнях, особливо під час переходу від скінченної кількості об'єктів до нескінченної, на маскуванні помилкових міркувань.

Математичний софізм є більш хитрим та цікавим, ніж помилка яка в ньому прихована.

Хибність ділення на нуль має безліч варіацій. У наступному прикладі використовується ділення на нуль, щоб «довести», що 2 = 1, але може бути зміненим, щоб довести, що будь-яке число дорівнює будь-якому іншому числу.

1. Нехай ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ дорівнюють ненульовим значенням

   ${\displaystyle a=b}$

2. Помножимо на ${\displaystyle a}$

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. Віднімаємо ${\displaystyle b^{2}}$

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. Факторизуємо з обох сторін: зліва, як різницю квадратів, праворуч розкладаємо шляхом вилучення ${\displaystyle b}$ з обох компонентів

   ${\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}$

5. Ділимо на ${\displaystyle (a-b)}$

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. Помічаємо, що ${\displaystyle a=b}$

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. Приводимо подібні доданки зліва

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. Ділимо на ненульове ${\displaystyle b}$

   ${\displaystyle 2=1}$

Q.E.D.[4]

Помилковість полягає в пункті 5:перехід від пункту 4 до пункту 5 передбачає ділення на ${\displaystyle (a-b)}$, яке дорівнює нулю внаслідок того, що прийнято ${\displaystyle a=b}$ (див. крок 1), а в результаті ${\displaystyle a}$ дорівнює ${\displaystyle b}$. Оскільки ділення на нуль не визначене, аргумент недійсний.

Багато функцій не мають унікальних обернених. Наприклад піднесення числа до квадрата дає унікальне значення, але можливі два квадратних корені з позитивного числа. Квадратний корінь є багатозначним. Одне значення може бути вибрано відповідно до угоди як головне значення, в ненульовому квадратному корені позитивне значення є основним значенням, але немає ніякої гарантії, що функції квадратного кореня задана головним значенням квадрата числа дорівнюватиме вихідному числу, наприклад, корінь квадратний з квадрата -2 дорівнюватиме 2.

Числення, як математичного досліду нескінченно малої зміни так і обмеженої може призвести до математичних помилок, якщо властивості інтегралів і диференціалів проігноровані. Наприклад, наявне використання інтегрування частинами може бути використане, щоб дати неправдивий доказ того, що 0 = 1.Припустимо ${\displaystyle \textstyle u={\frac {1}{\log x}}}$ та ${\displaystyle \textstyle dv={\frac {dx}{x}}}$, ми можемо написати:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

після чого первісні можуть бути скасовані з отриманням 0 = 1.[5] Проблема полягає в тому, що первісні тільки визначається з точністю до постійної і зрушуючи їх на 1 або навіть будь-яку кількість дозволяється. Помилка дійсно приходить до виявляється, коли ми вводимо довільні межі інтегрування a і b.

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

Оскільки різниця між двома значеннями постійної функції дорівнює нулю, на обох сторонах рівняння з'являється певний визначений інтеграл.

• Софісти
• Логіка
• Парадокс

• Брадис В. М. Ошибки в математических рассуждениях. — М. : Просвещение, 1967.
• Гайдук Ю. М. Математические софизмы / Математика в школе. — № 6. — 1952.
• Гарднер М. Математические головоломки и игры. — М. : Мир, 1971.

• загадки на логіку