Елементарна алгебра

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

1. Піднесення до степеня.
2. Обчислення функції.
3. Множення та ділення.
4. Додавання та віднімання.

Приклади:

• ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$
• ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2})}$
• ${\displaystyle \sin a+b=(\sin a)+b}$

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу[4]. Приклад: для виразу ${\displaystyle ~{\frac {a+b}{a-b}}}$ область допустимих значень — усе пари ${\displaystyle a,b}$, у яких ${\displaystyle a\neq b}$.

• Комутативність (властивість перестановки) додавання:

${\displaystyle a+b=b+a.\ }$

• Віднімання є дією, оберненою до додавання.
• Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:

${\displaystyle a-b=a+(-b).\ }$

• Комутативність (властивість перестановки) множення:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$

• Ділення є дією, оберненою до множення.
• Ділення на нуль є неможливим.
• Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
  • Приклад: якщо ${\displaystyle 3^{x}=10}$, то ${\displaystyle x=\log _{3}10.}$ Якщо ${\displaystyle x^{2}=10}$, то ${\displaystyle ~x={\sqrt {10}}.}$
• Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
• Асоціативна (сполучна) властивість додавання: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$
• Асоціативна (сполучна) властивість множення: ${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb.}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}.}$
• Додавання показників степеня: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Множення показників степеня: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}.}$

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle b=c}$, то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивність рівності).
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивність).
• Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle b=a}$ (симетричність).

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle a+c=b+d.}$ (адитивність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для будь-якого c
• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd.}$ (мультиплікативність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle ac=bc}$ для будь-якого c
• Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle b>c}$, то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивність порядку).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$, то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для будь-якого c.
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc.}$
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac<bc.}$

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$