Багатозначна функція

Багатозна́чна фу́нкція — узагальнення поняття функції, що допускає наявність декількох значень функції для одного аргументу[1].

Функція від елемента «3» набуває двох значень

Визначення

Функція , яка кожному елементу множини ставить у відповідність деяку підмножину множини називається багатозначною функцією[2], якщо хоча б для одного значення містить більше одного елемента

Звичайні (однозначні) функції можна розглядати як окремий випадок багатозначних, у яких значення складається рівно з одного елемента.

Приклади

Найпростіший приклад — двозначна функція квадратного кореня з додатного числа, у неї два значення, що розрізняються знаком. Наприклад, квадратний корінь з 16 має два значення  і

Інший приклад обернені тригонометричні функції (наприклад, арксинус) — оскільки значення прямих тригонометричних функцій повторюються з періодом або то значення обернених функцій багатозначні («нескінченнозначні»), всі вони мають вигляд або де  — довільне ціле число.

Багатозначні функції незручно використовувати у формулах, тому з їх значень нерідко виділяють одне, яке називають головним. Для квадратного кореня це додатне значення, для арксинуса — значення, що потрапляє в інтервал тощо.

Первісну функцію (невизначений інтеграл) також можна розглядати як нескінченнозначну функцію, оскільки вона визначена з точністю до сталої інтегрування.

У комплексному аналізі та алгебрі

Характерний приклад багатозначних функцій — деякі аналітичні функції в комплексному аналізі. Неоднозначність виникає при аналітичному продовженні за різними шляхами. Також часто багатозначні функції виходять як результат взяття обернених функцій.

Наприклад, корінь n-го степеня з будь-якого ненульового комплексного числа набуває рівно значень. У комплексного логарифма число значень нескінченне, одне з них оголошено головним.

У комплексному аналізі поняття багатозначної функції тісно пов'язане з поняттям ріманової поверхні — поверхні в багатовимірному комплексному просторі, на якій дана функція стає однозначною.

Див. також

  • Багатозначне відображення

Примітка

Література

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. М. : Наука, 1972.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М. : Наука, 1969. — 577 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.