Метакомпактний простір

У математиці, зокрема загальній топології, топологічний простір називається метакомпактним, якщо для кожного його відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення. Тобто, для будь-якого відкритого покриття топологічного простору, існує подрібнення, яке знову є відкритим покриттям із властивістю, що кожна точка є елементом лише у скінченній кількості множин подрібнення.

Топологічний простір називається зліченно метакомпактним, якщо для кожного зліченного відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення.

Формальне означення

Нехай є відкритим покриттям топологічного простору , тобто сім'єю відкритих підмножин для яких і є сім'єю відкритих підмножин, що задовольняє умови:

  • ,   тобто теж є відкритим покриттям простору
  • , тобто є подрібненням покриття
  • ,   тобто покриття є точково скінченним.

Приклади

  • Кожен паракомпактний простір є метакомпактним. Це означає, наприклад, що всі компактні простори і метричні простори є метакомпактними.
  • Прикладом метакомпактного простору, що не є паракомпактним є дошка Дьєдоне.[1][2] Дошка Дьєдоне є також прикладом того, що метакомпактний простір може не бути нормальним.
  • Простим прикладом простору, що не є метакомпактним але є зліченно метакомпактним) є площина Немицького.
  • Стрілка Зоргенфрея є паракомпактним, а тому і метакомпактним простором, проте добуток двох стрілок (площина Зоргенфрея) не є метакомпактним простором.
  • Зліченно компактний простір Лінделефа є метакомпактним і кожен сепарабельний метакомпактний простір є простором Лінделефа.

Властивості

  • Замкнутий підпростір метакомпактного простору теж є метакомпактним.
  • Кожен метакомпактний простір є ортокомпактним.
  • Нормальний метакомпактний простір є зліченно паракомпактним[3] але може не бути паракомпактним.
  • Кожен метакомпактний нормальний простір задовольняє властивість стиснення: для довільного відкритого покриття існує таке покриття індексоване тією ж множиною, що і для всіх замикань також Якщо покриття є точково скінченним, то таким є і
  • Добуток компактного простору і метакомпактного простору є метакомпактним.
  • Для того, щоб цілком регулярний простір X був компактним, необхідно і достатньо, щоб X був метакомпактним і псевдокомпактним.

Розмірність Лебега

Топологічний простір X має розмірність Лебега n, якщо для кожного відкритого покриття X існує подрібнення, таке що жодна точка простору X належить не більш ніж n + 1 множині із подрібнення і якщо n є мінімальним значенням, для якого це справджуєть. Якщо такого мінімального n не існує то простір має нескінченну розмірнісь Лебега. Усі простори скінченної міри Лебега є очевидно метакомпактними.

Примітки

  1. J. Dieudonné: Une généralisation des espaces compacts. In: J. Math. Pure Appl. Volume 23, 1944, p. 65–76.
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Example 89.
  3. K. Morita: Star-finite coverings and the start-finite property. In: Math. Japon. Band 1, 1948, S. 60–68.

Див. також

Література

  • Watson, W. Stephen (1981). Pseudocompact metacompact spaces are compact. Proc. Amer. Math. Soc. 81: 151–152. doi:10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1..
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. P.23.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.