Модель Солоу — Свона

У моделі розглядається:

• Виробляється тільки один продукт ${\displaystyle Y}$, який використовується, як для споживання ${\displaystyle C}$, так і для інвестицій ${\displaystyle I}$.
• Економіка закрита, тобто усе вироблене прямує тільки на внутрішні інвестиції та споживання, експорт/імпорт/резервування продукції відсутні.
• Підприємства максимізують свій прибуток.
• Підприємства функціонують в умовах досконалої конкуренції.
• Темпи технологічного прогресу ${\displaystyle g}$, зростання населення ${\displaystyle n}$, норма вибуття капіталу ${\displaystyle \delta }$, норма заощаджень ${\displaystyle s}$ — задаються екзогенно і залишаються постійними для будь-якого часового проміжку[8]. Але це не забороняє їх змінювати при обчисленні нового часового ряду для моделі з новими параметрами.
• Заощадження дорівнюють інвестиціям: ${\displaystyle S=I=sY}$, ${\displaystyle Y=C+I}$[9].
• Фіскальна політика (податки й державні витрати) у моделі відсутня.
• Час ${\displaystyle t}$ змінюється неперервно[3][2].

Виробнича функція зазвичай має вигляд ${\displaystyle Q=Af(K,L)}$ або ${\displaystyle Q=f(K,L)}$ де ${\displaystyle Q}$ — кількість зроблених товарів, ${\displaystyle A}$ — досить довільний коефіцієнт, який трактується як вплив поточної технології на продуктивність праці, ${\displaystyle K}$ — агрегований капітал, ${\displaystyle L}$ — кількість праці. У моделі Солоу — Свона кількість праці залежить від чисельності населення (припускається, що кожна особа в середньому відпрацює деякий час). Але результат цієї праці залежить від застосованих на виробництві технологій, тобто від коефіцієнту ефективності праці ${\displaystyle A}$. Попервах цей коефіцієнт задавався як константа. Після вдосконалення моделі в 1957 році, для врахування технологічного зростання у виробничій функції незмінну ${\displaystyle A}$ перетворили на додатковий параметр функції, який отримав здатність змінюватись у часі за тою ж схемою, що й ${\displaystyle L}$. Тому в моделі кількість ефективної праці є добутком поточних значень ${\displaystyle AL}$.

Виробнича функція моделі Солоу — Свона задовольняє неокласичним передумовам[10][11]:

• функція має постійну віддачу від масштабу: ${\displaystyle Y(aK,aAL)=aY(K,AL)}$, тобто однаковий відсоток збільшення факторів дає такий самий відсоток збільшення результату;
• населення в моделі рівне сукупним трудовим ресурсам, воно експонентно зростає з постійним темпом ${\displaystyle n}$[3]: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},\ n=const}$.
• технологічний прогрес експонентно збільшує продуктивність праці (нейтральний по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},A_{t}L_{t}),\ A_{t}=A_{0}e^{gt},\ g=const}$;
• гранична продуктивність чинників позитивна і спадна: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,\ {\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,\ {\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,\ {\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$;
• якщо задіяність (наявність) одного з факторів нескінченно мала, то його продуктивність нескінченно велика, якщо ж задіяність одного з факторів нескінченно велика, то його продуктивність нескінченно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\ \lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$;
• для виробництва необхідний кожен фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,AL)=0}$.

Для пошуку розв'язку моделі використовують питомі показники[9]:

• випуск на одиницю ефективної праці ${\displaystyle y={\frac {Y}{AL}}}$,
• запас капіталу на одиницю ефективної праці ${\displaystyle k={\frac {K}{AL}}}$,
• споживання на одиницю ефективної праці ${\displaystyle c={\frac {C}{AL}}}$,
• інвестиції на одиницю ефективної праці ${\displaystyle i={\frac {I}{AL}}}$.

Тоді виробничу функцію можна записати в наступному вигляді: ${\displaystyle y={\frac {Y}{AL}}=Y{\biggl (}{\frac {K}{AL}},1{\biggr )}=f(k)}$.

Найчастіше як конкретний приклад виробничої функції, що задовольняє передумовам моделі, застосовують виробничу функцію Кобба  — Дугласа[10][12] :

${\displaystyle Y=K^{\alpha }(AL)^{1-\alpha },\ y=k^{\alpha },\ 0<\alpha <1}$,

щоб підкреслити розрахунок для певного часу від початкових значень, до формули додають часовий індекс:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

Де ${\displaystyle \alpha }$ — еластичність випуску за капіталом, ${\displaystyle (1-\alpha )}$ — еластичність випуску за працею.

Поведінка споживачів в явному вигляді в моделі не розглядається. Функція корисності відсутня. Замість цього є екзогенно задана норма заощаджень ${\displaystyle s}$ в межах ${\displaystyle 0<s<1}$, що трактується як збереження домогосподарствами частки свого доходу ${\displaystyle s}$, а на споживання залишається частка ${\displaystyle 1-s}$. Співвідношення між ними не залежить від будь-яких подій в економіці[13].

Модель Солоу — Свона, фазова площина, рівновага

Виходячи з передумов моделі, в кожен момент часу ${\displaystyle t}$ капітал збільшується на розмір інвестицій, тобто на ${\displaystyle sY}$, та зменшується на ${\displaystyle \delta K}$. Таким чином, можна записати похідну капіталу за часом ${\displaystyle {\dot {K}}}$ в наступному вигляді[14] :

${\displaystyle {\dot {K}}=sY_{t}-\delta K_{t}}$.

Враховуючи що ${\displaystyle k={\frac {K}{AL}}}$, похідну капіталоозброєність праці з постійною ефективністю ${\displaystyle {\dot {k}}}$ за часом можна виразити таким чином[14] :

${\displaystyle {\dot {k}}={\frac {\dot {K}}{A_{t}L_{t}}}-{\frac {K_{t}({\dot {L}}A_{t}+L_{t}{\dot {A}})}{(A_{t}L_{t})^{2}}}={\frac {sY_{t}-\delta K_{t}}{A_{t}L_{t}}}-{\frac {K}{AL}}\times {\frac {\dot {L}}{L_{t}}}-{\frac {K_{t}}{A_{t}L_{t}}}\times {\frac {\dot {A}}{A_{t}}}=sf(k_{t})-(n+g+\delta )k_{t}}$,

де ${\displaystyle {\dot {L}}}$ — похідна розміру населення за часом,

${\displaystyle {\dot {A}}}$ — похідна ефективності праці за часом.

Виходячи з раніше прийнятих передумов:

${\displaystyle {\frac {\dot {L}}{L_{t}}}=n}$

${\displaystyle {\frac {\dot {A}}{A_{t}}}=g}$

Якщо інвестиції на одиницю ефективної праці ${\displaystyle i_{t}=sf(k_{t})}$ перевищують вибуття капіталу на одиницю ефективної праці ${\displaystyle (n+g+\delta )k_{t}}$, то росте капіталоозброєність праці з постійною ефективністю ${\displaystyle k}$, в іншому випадку — падає[15]. У стаціонарному стані рівень капіталу на одиницю ефективної праці ${\displaystyle k}$ постійний, тобто ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$, тобто стійкий рівень капіталоозброєності праці з постійною ефективністю ${\displaystyle k^{*}}$ знаходиться з рівняння[16][17] :

${\displaystyle sf(k^{*})=(n+g+\delta )k^{*}}$.

Модель Солоу — Свона, фазова площина, зміна норми заощаджень

У стаціонарному стані темп зростання продуктивності праці дорівнює темпу технічного прогресу, а темп економічного зростання — сумі темпу технічного прогресу і темпу зростання населення[18]. Графічно досягнення рівноваги в моделі показано на ілюстрації.

При зростанні норми заощаджень інвестиції перевищують вибуття капіталу, ${\displaystyle k}$ росте до досягнення рівноваги при більш високому рівні ${\displaystyle k}$. У процесі переходу до нового стаціонарного стану темп зростання продуктивності праці випереджатиме темп технічного прогресу і при досягненні нової рівноваги вони зрівняються. Перехід до нового стаціонарного стану при зміні норми заощаджень показаний графічно на ілюстрації.

У стаціонарному стані темп приросту показників на одиницю ефективної праці дорівнює нулю[18] :

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{y}}=g_{y}={\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}={\frac {\dot {h}}{h}}=g_{h}={\frac {\dot {k}}{k}}=g_{k}=0}$.

Показники на одиницю праці зростають з темпом технологічного прогресу ${\displaystyle g}$[18] :

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {Y}{L}}}{\bigr )}}{\frac {Y}{L}}}=g_{Y/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {C}{L}}}{\bigr )}}{\frac {C}{L}}}=g_{C/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {H}{L}}}{\bigr )}}{\frac {H}{L}}}=g_{H/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {K}{L}}}{\bigr )}}{\frac {K}{L}}}=g_{K/L}=g}$.

Валові показники зростають у темпі, що дорівнює сумі темпів приросту технологічного прогресу ${\displaystyle g}$ і населення ${\displaystyle n}$[18] :

${\displaystyle {\frac {\dot {Y}}{Y}}=g_{Y}={\frac {\dot {C}}{C}}=g_{C}={\frac {\dot {H}}{H}}=g_{H}={\frac {\dot {K}}{K}}=g_{K}=g+n}$.

Модель Солоу — Свона, фазова площина, «Золоте правило»

Модель Солоу — Свона, перехід до «Золотого правила», варіант 1

Модель Солоу — Свона, перехід до «Золотого правила», варіант 2

Після знаходження стійкого рівня ${\displaystyle k^{*}}$ наступним завданням є пошук такого значення норми заощаджень ${\displaystyle s^{*}}$, при якому в стійкому стані споживання на одиницю ефективної праці ${\displaystyle c}$ максимально. Тобто, необхідно розв'язати задачу[19][20] :

${\displaystyle \max _{s}{c[k(s)]}}$

за умови:

${\displaystyle {\dot {k}}=0}$.

Записавши ${\displaystyle c}$ через ${\displaystyle k}$, маємо[21] :

${\displaystyle c[k(s)]=(1-s)y=f[k(s)]-(n+g+\delta )k(s)}$.

Похідна ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}}$ дорівнює[21] :

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial k}}-(n+g+\delta ){\biggr )}{\frac {\partial k}{\partial s}}}$.

У точці максимуму ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}=0}$. Із ростом норми заощаджень капіталоозброєність одиниці ефективної праці зростає, тому ${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial s}}>0}$. Значить, у точці максимуму має виконуватися рівність[21] :

${\displaystyle {\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta }$,

де ${\displaystyle k^{**}}$ — стійкий рівень капіталоозброєності на одиницю ефективної праці, що відповідає максимальному споживанню.

Таким чином, норма заощаджень ${\displaystyle s^{*}}$, що максимізує споживання ${\displaystyle c}$, знаходиться з розв'язку системи рівнянь[21] :

${\displaystyle {\begin{cases}s^{*}f(k^{**})=(n+g+\delta )k^{**},\\{\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta .\end{cases}}}$

За результатом розв'язку цієї системи оптимальна норма заощадження, що відповідає «Золотому правилу», дорівнює еластичності випуску за капіталом[22] :

${\displaystyle s^{*}={\frac {k^{**}}{f(k^{**})}}\times {\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}}$.

Графічно «Золоте правило» норми заощадження в моделі показано на ілюстрації. Обирається така норма заощаджень, за якої нахил кривої ${\displaystyle f(k)}$ дорівнює ${\displaystyle n+g+\delta }$, оскільки саме в цій точці максимальний рівень перевищення кривої ${\displaystyle f(k)}$ над кривою ${\displaystyle (n+g+\delta )k}$ (що складає споживання ${\displaystyle c}$). Таким чином, норма заощаджень, що забезпечує максимальний стійкий рівень споживання, дорівнює еластичності випуску за капіталом в стійкому стані, відповідному цій нормі заощаджень. Отримане значення ${\displaystyle s^{*}}$ називають «Золотим правилом» норми заощадження, а ${\displaystyle k^{**}}$ — капіталоозброєністю на одиницю ефективної праці, що відповідає «Золотому правилу»[22].

Якщо норма заощаджень ${\displaystyle s}$ вище «Золотого правила», то за її зниження до рівня «Золотого правила» споживання ${\displaystyle c}$ спочатку різко зростає, потім знижується, але в підсумку стабілізується на рівні вище початкового[23]. Зміна показників із плином часу при такому переході до «Золотого правила» представлена на ілюстрації як варіант 1.

Якщо норма заощаджень ${\displaystyle s}$ нижче «Золотого правила», то за її зростання до рівня «Золотого правила» споживання ${\displaystyle c}$ спочатку знижується, але потім зростає і перевищує початковий рівень[22]. Зміна показників з плином часу при такому переході до «Золотого правила» представлена на ілюстрації як варіант 2.

Якщо як виробнича функція в моделі застосовується функція Кобба — Дугласа у вигляді ${\displaystyle Y=K^{\alpha }(AL)^{1-\alpha }}$ з постійною еластичністю випуску за капіталом, тоді ${\displaystyle s^{*}=\alpha }$[22].

Для оцінки швидкості наближення до стійкого стану, потрібно оцінити розмір ${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}}$. Для цього потрібно розділити рівняння ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ на ${\displaystyle k}$ (з урахуванням того, що в стаціонарному стані ${\displaystyle sf(k^{*})=(n+g+\delta )k^{*}}$)[24] :

${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {sf(k)}{k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {f(k)k^{*}}{f(k^{*})k}}-1{\biggr )}}$

Таким чином, за умови ${\displaystyle k_{0}<k^{*}}$, чим далі країна знаходиться від рівноважного стану, тим вище темпи зростання. Лінійна апроксимація ${\displaystyle {\dot {k}}}$ залежно від ${\displaystyle k}$ за допомогою розкладання в ряд Тейлора навколо точки ${\displaystyle k=k^{*}}$ виглядає наступним чином[25] :

${\displaystyle {\dot {k}}\approx {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}(k-k^{*})}$,

де ${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}=s{\frac {\partial f(k^{*})}{\partial k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {k^{*}}{f(k^{*})}}\times {\frac {\partial f(k^{*})}{\partial k}}-1{\biggr )}=(n+g+\delta )(\epsilon _{fk}^{*}-1)}$,

де ${\displaystyle \epsilon _{fk}^{*}}$ — еластичність випуску за капіталом в стійкому стані.

Це рівняння можливо представити в наступному вигляді[25] :

${\displaystyle k_{t}-k^{*}=e^{-\lambda t}(k_{0}-k^{*})}$,

де ${\displaystyle \lambda }$ — коефіцієнт, що характеризує швидкість конвергенції.

Таким чином, модель Солоу — Свона передбачає умовну конвергенцію, тобто, що бідні країни будуть рости швидше багатих і врешті-решт досягнуть їх рівня добробуту за умови, що структурні параметри їх економік однакові[26].

Сумніви в тому, що модель Солоу — Свона адекватно описує економічні процеси, з'явилися вже в 1960-х роках, коли дослідники звернули увагу на японське економічне диво. У 1950 році розмір ВВП на душу населення (в термінах моделі ${\displaystyle {\frac {Y}{L}}}$) В Японії був в 5 разів менше за розмір ВВП на душу населення США[36]. Виходячи з моделі і припускаючи однакову технологічну структуру економік США і Японії, отримаємо[37] :

${\displaystyle {\frac {Y}{L}}=A{\biggl (}{\frac {K}{L}}{\biggr )}^{\alpha }}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f(k)}{\partial k}}={\frac {\partial (AK^{\alpha }L^{1-\alpha })}{\partial K}}=\alpha A{\biggl (}{\frac {K}{L}}{\biggr )}^{\alpha -1}=\alpha A^{\frac {1}{\alpha }}{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}^{-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}$,

${\displaystyle r={\frac {\partial f(k)}{\partial k}}-\delta }$,

${\displaystyle {\frac {r_{JPN}+\delta }{r_{USA}+\delta }}={\frac {{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{USA}^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}{{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{JPN}^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}=5^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}$,

де ${\displaystyle r_{JPN}}$ — відсоткова ставка в Японії, ${\displaystyle r_{USA}}$ — у США, ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{JPN}}$ — ВВП на душу населення в Японії, ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{USA}}$ — ВВП на душу населення в США.

Використовуючи звичайні для розрахунків значення ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle \delta =0,1}$, а також оцінку ${\displaystyle r_{USA}}$ на початок 1950-х років у розмірі 0,065, ми отримаємо, що ${\displaystyle r_{JPN}=4,025}$, тобто, що відсоткова ставка в Японії в 1950 році за моделлю повинна бути близько 402,5 %, що дуже далеко від реальних значень. Таким чином, вже в 1960-х роках стало зрозуміло, що модель Солоу — Свона — тільки початковий етап в розумінні природи економічного зростання[38].

Настільки сильне відхилення реальних значень відсоткової ставки від теоретичних стало причиною розвитку складніших моделей, припущення яких щодо процентної ставки були б більш реалістичними. Одні дослідники пішли шляхом розширення поняття капітал за рахунок включення в нього людського капіталу. При такому підході значення ${\displaystyle \alpha }$ підвищувався з приблизно ⅓ до приблизно ⅔ (якщо вважати суму людського і фізичного капіталу), за цього різниця процентних ставок у розвиненої і наздоганяючої країн стає набагато менше, ніж передбачена за моделлю Солоу — Свона. Результатом такого підходу стала модель Менкен — Ромера — Вейла[39]. Інші дослідники стали розробляти моделі, в яких спочатку норма заощаджень, а потім і темпи економічного зростання, не задаються екзогенно, а є наслідком рішень економічних агентів. Першим кроком у цьому напрямку стала модель Рамсея — Каса — Купманса, потім доповнена АК-моделями[40].