Напівпростий лінійний оператор

Напівпростий лінійний операторлінійне перетворення векторного простору над полем для якого будь-який підпростір у , що є інваріантним щодо , має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо — лінійний підпростір, для якого , то також існує підпростір , такий що і також

Іншими словами, потрібно, щоб визначав на структуру напівпростого модуля над кільцем .

У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.

Приклади

Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є:

Властивості

  • Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору і до фактор-простору .
  • Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників.
  • У випадку простору над алгебрично замкнутим полем це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним.
  • Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір.
  • Якщо поле є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля.
  • Якщо розширення поля і — продовження відображення на простір , то з того що є напівпростим випливає що і є напівпростим. Якщо є сепарабельним над , то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм називається абсолютно напівпростим, якщо є напівпростим для будь-якого розширення . Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля , тобто щоб ендоморфізм був діагоналізовним.

Див. також

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.