Розклад Жордана — Шевальє

Розкладом Жордана — Шевальє у лінійній алгебрі називається розклад лінійного ендоморфізму скінченновимірного простору (чи, еквівалентно, матриці цього перетворення для деякого вибраного базису простору) як суми чи, у випадку автоморфізмів, добутку простіших складових, а саме напівпростих, нільпотентних чи, у випадку автоморфізмів, уніпотентних операторів. Розклад Жордана — Шевальє особливо легко отримати для матриць записаних у жордановій нормальній формі.

Більш загально означення даного розкладу можна поширити на випадок так званих локально скінченних ендоморфізмів векторних просторів. Цей факт, а також те, що компоненти розкладу є многочленами від ендоморфізму робить розклад Жордана — Шевальє важливим інструментом у теорії лінійних алгебричних груп.

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Адитивний розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму скінченновимірного векторного простору — запис цього ендоморфізму у вигляді суми напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів, що комутують між собою: . Ендоморфізми і називаються відповідно напівпростою і нільпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє ендоморфізму .

Якщо в деякому базисі простору матриця ендоморфізму є жордановою матрицею, а — такий ендоморфізм, що в тому ж базисі його матриця має вигляд , де при всіх і для всіх , то розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму матиме вигляд , тобто і .

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Якщо — автоморфізм простору , то — також автоморфізм і де і позначає тотожний автоморфізм простору . Автоморфізм є уніпотентним, тобто всі його власні значення дорівнюють одиниці. Будь-яке представлення автоморфізму у вигляді добутку комутуючих напівпростого і уніпотентного автоморфізмів збігається з описаним поданням . Воно називається мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє автоморфізму , a і — напівпростою і уніпотентною компонентою автоморфізму .

Властивості

  • Для будь-якого ендоморфізму векторного простору над алгебрично замкнутим полем (і, більш загально, над довільним досконалим полем) розклад Жордана — Шевальє існує і є єдиним.
  • Для напівпростої і нільпотентної компоненти ендоморфізму справедливими є рівності і для деяких многочленів і над полем з нульовими вільними членами.
Нехай — різні власні значення автоморфізму із алгебричною кратністю. Тоді характеристичний многочлен ендоморфізму можна записати як .
Позначимо також . Підпростори є стабільними щодо ендоморфізму і весь простір є їх прямою сумою, що легко можна побачити перевівши матрицю перетворення до жорданової нормальної форми.
Згідно з китайською теоремою про залишки для многочленів, існує многочлен , для якого:
.
Позначимо . Тоді для отримуємо . Тому є власним простором для власного вектора і загалом для ендоморфізму існує базис із власних векторів. Тобто є напівпростим і рівний многочлену від з нульовим вільним членом. Також вибравши базис при якому матриця має жорданову нормальну форму отримуємо, що матриця є діагональною із діагоналлю рівною діагоналі матриці . Тому є жордановою матрицею з нульовою діагоналлю і тому нільпотентною. Отож буде нільпотентним оператором і також можна взяти . Таким чином отримані напівпрості і нільпотентні компоненти і відповідні многочлени. Оскільки і є многочленами від то вони комутують між собою.
Для доведення єдиності розкладу припустимо, що . Оскільки всі ендоморфізми є многочленами від то вони комутують між собою. Звідси є одночосно напівпростим і нільпотентним оператором, тобто рівним нулю, що завершує доведення єдиності.
  • Якщо — підпростір у інваріантний щодо , то є інваріантним також і щодо і , і до того ж є розкладом Жордана — Шевальє для (тут позначає обмеження ендоморфізму на підпростір ). Якщо є автоморфізмом, то є інваріантним також і щодо і — мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє автоморфізму .
  • Якщо — підполе в і є раціональним над (щодо деякої -структури на ), то і не будуть, взагалі кажучи, раціональними над ; можна лише стверджувати, що і є раціональними над полем , де , — характеристична експонента поля (для полів характеристики 0 є рівним полю , в іншому випадку — це множина всіх елементів з , що є чисто несепарабельними над ).
  • Якщо є раціональним автоморфізмом над , то і є раціональними над .
  • Якщо , то .
  • Якщо , то .
  • Якщо і — розклади Жордана — Шевальє, то і є розкладами Жордана — Шевальє відповідних лінійних відображень.

Локально скінченні ендоморфізми

Поняття розкладу Жордана — Шевальє може бути узагальнене на локально скінченні ендоморфізми нескінченновимірного векторного простору , тобто ендоморфізми , що породжується скінченновимірними -інваріантними підпросторами. Для є справедливими твердження про існування і єдиність подання у вигляді суми (а для автоморфізмів також у вигляді добутку ), комутуючих локально скінченних напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів (відповідно напівпростого і уніпотентного автоморфізмів), тобто таких ендоморфізмів, що будь-який скінченновимірний -інваріантний підпростір у є інваріантним щодо і (відповідно і ) (відповідно ) є розкладом Жордана — Шевальє для .

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Зазначене розширення поняття розкладу Жордана — Шевальє на локально скінченні ендоморфізми дозволяє ввести означення розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебричних алгебрах Лі. Нехай лінійна алгебрична група над , — її алгебра Лі, представлення в групі автоморфізмів алгебри регулярних функцій на , задане правими зсувами, і — його диференціал. Для будь-яких і ендоморфізми і векторного простору є локально скінченними, тому можна говорити про їх розклад Жордана — Шевальє: і .

Один з важливих результатів теорії алгебричних груп полягає в тому, що зазначені розклади Жордана — Шевальє реалізуються за допомогою елементів з і відповідно. Точніше, існують однозначно визначені елементи і такі, що

і для цих елементів:

.

Ці розклади називаються відповідно розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній групі і розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній алгебри Лі .

Якщо є визначеною над підполем поля і елемент (відповідно ) є раціональним над , то (відповідно ) є раціональними над .

Якщо група реалізована як замкнута підгрупа загальної лінійної групи автоморфізмів деякого скінченновимірного векторного простору [і, отже, реалізується як підалгебра в алгебрі Лі групи ), то розклад Жордана — Шевальє для елемента збігається з введеним вище мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє для як автоморфізму простору , а розклад як елемента алгебри Лі з адитивним розклад Жордана — Шевальє для , як ендоморфізму простору .

Якщо — раціональний гомоморфізм афінних алгебричних груп і — відповідний гомоморфізм їх алгебр Лі, то

для будь-яких .

Поняття розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебрах Лі дозволяє ввести означення напівпростого, уніпотентного (відповідно нільпотентного) елементів в довільній афінній алгебричній групі (відповідно алгебричній алгебрі Лі). Елемент називається напівпростим, якщо , і уніпотентним, якщо . Елемент називається напівпростим, якщо і нільпотентним, якщо.

Нехай визначена над , тоді є -замкнутою підмножиною в , а -замкнутою підмножиною в .

У загальному випадку не є замкнутим множиною, але якщо є комутативною, то і є замкнутими підгрупами і . Множини і в довільній афінній алгебричній групі інваріантні щодо внутрішніх автоморфізмів.

Див. також

Література

  • Humphreys, James E. (1981). Linear Algebraic Groups. Graduate texts in mathematics 21. Springer. ISBN 0-387-90108-6.
  • Springer, Tonny A. (1998) [1981]. Linear Algebraic Groups (вид. 2nd). New York: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5. MR 1642713.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.