Нерівність Коші — Буняковського

Для довільних векторів ${\displaystyle \ x}$, ${\displaystyle \ y}$ із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$,

де ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — операція скалярного добутку, а ${\displaystyle \ |\cdot |}$ — модуль числа.

Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}$.

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори ${\displaystyle \ x}$, ${\displaystyle \ y}$ лінійно залежні.

Скалярний добуток векторів ${\displaystyle \ x=(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$ і ${\displaystyle \ y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})}$ означимо за формулою

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots x_{n},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}}$ виконується нерівність

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).}$

у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах.

${\displaystyle \ C[a;b]}$ — лінійний простір неперервних на відрізку ${\displaystyle \ C[a;b]}$ функцій.

Скалярний добуток для функцій ${\displaystyle \ f(x),g(x)\in C[a;b]}$ означимо через

${\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}$, то виконуватиметься нерівність

${\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.}$

Для довільного ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .}$ Розглянемо скалярний квадрат вектора ${\displaystyle \ x+\lambda y}$:

${\displaystyle 0\leq \langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle +2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle }$

Отримуємо квадратичну нерівність ${\displaystyle \lambda ^{2}\|y\|^{2}+2\lambda \langle x,y\rangle +\|x\|^{2}\geq 0}$ для всіх ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант ${\displaystyle 4\langle x,y\rangle ^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^{2}}$ не більший від нуля.

Звідки отримуємо ${\displaystyle \langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|}$.

В лінійному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ з введеним скалярним добутком ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$ нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}}$

або після зведення однакових доданків

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.}$

Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}}$

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

для додатних дійсних ${\displaystyle \ a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle {\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.}$

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти ${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\dfrac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}},\quad y_{i}={\sqrt {b_{i}}}}$.

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:

${\displaystyle {\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},}$

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.