Неявна крива

Точка кривої ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ називається регулярною, якщо перші часткові похідні ${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$ і ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$ в ній одночасно не дорівнюють 0.

Рівняння дотичної в регулярній точці ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ має вигляд

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0,}$

тому кутовий коефіцієнт дотичної, а отже і нахил кривої в цій точці, дорівнює

${\displaystyle {\text{кут}}={\frac {-F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.}$

Якщо ${\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)}$ в ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, крива є вертикальною в цій точці, в той час, коли одночасно ${\displaystyle F_{y}(x,y)=0}$ і ${\displaystyle F_{x}(x,y)=0}$, крива не є диференційованою в розглядуваній точці, але замість неї є особлива точка — або касп, або точка, де крива перетинає сама себе.

Нормальний вектор до кривої в точці задається формулою

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))}$

(тут написано як вектор лінії).

Для читабельності формул аргументи ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ опустимо. Кривина ${\displaystyle \kappa }$ у регулярній точці задається формулою

${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$.[1]

Теорема про неявну функцію стверджує, що в межах околу точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ існує функція ${\displaystyle f}$ така, що ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$. За правилом диференціювання складеної функції похідні функції ${\displaystyle f}$ такі

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$ і ${\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(аргументи ${\displaystyle (x,f(x))}$ у правій частині другої формули опущені для зручності читання).

Підставимо похідні функції ${\displaystyle f}$ у формули для дотичної та кривизни явного рівняння ${\displaystyle y=f(x)}$, отримаємо

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ (дотична)

${\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}}$ (кривизна).

Істотним недоліком неявної кривої є відсутність простої можливості обчислення окремих точок, необхідних для візуалізації неявної кривої.

1. Неявні представлення полегшують обчислення точок перетину: якщо одна крива представлена неявно, а інша - параметрично, то обчислення точок перетину потребує простої (1-мірної) ітерації Ньютона ( див. Перетин ).
2. Неявне представлення ${\displaystyle F(x,y)=0}$ дає можливість вибору точок кривої ${\displaystyle F(x,y)}$ незалежно від знаку. Це може бути корисним, наприклад, для застосування методу помилкової позиції замість ітерацій Ньютона.
3. Легко генерувати криві, які майже геометрично подібні до даної неявної кривої ${\displaystyle F(x,y)=0,}$ просто додавши невелике число: ${\displaystyle F(x,y)-c=0}$ (див. розділ Гладкі апроксимації).

Гладкої апроксимації опуклого многокутника можна досягнути наступним чином: нехай ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$ - рівняння ліній, що містять ребра багатокутника, такі, що для внутрішньої точки багатокутника ${\displaystyle g_{i}}$ додатні. Тоді підмножина неявної кривої

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0}$

з відповідним малим параметром ${\displaystyle c}$ є гладким (диференційованим) наближення багатокутника. Наприклад, криві

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$ для ${\displaystyle c=0.03,\dotsc ,0.6}$

містять гладкі наближення багатокутника з 5 ребрами (див. рисунок).

У випадку двох ліній

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

отримуємо

рівняння паралельних ліній , якщо задані лінії є паралельними або

рівняння гіпербол, які мають задані лінії як асимптоти.

Наприклад, добуток координат осей дає рівняння гіпербол ${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$, для яких осі координат є асимптотами.

Якщо починати з простих неявних кривих, відмінних від ліній (кола, параболи, ...), то отримуємо широкий спектр нових цікавих кривих. Наприклад,

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

(добуток кола і осі x) дає гладкі наближення однієї половини кола (див. рисунок), і

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(добуток двох кіл) дає гладкі наближення перетину двох кіл (див. рисунок).

Змішана крива (червона) з двох кіл

У САПР використовуються неявні криві для генерації кривих змішування [2] [3] ,які є спеціальними кривими, що встановлюють гладкий перехід між двома заданими кривими. Наприклад,

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

генерує криві змішування між двома колами

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

Метод гарантує неперервність дотичних та кривих у точках контакту (див. рисунок). Дві лінії

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

визначають точки дотику кіл. Параметр ${\displaystyle \mu }$ є конструктивним параметром. На рисунку ${\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}$ .

Еквіпотенціальні криві двох точкових зарядів у синіх точках

Еквіпотенціальні криві двох рівних точкових зарядів у точках ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$ може бути представлена рівнянням

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2})}}}-c=0.}$

Криві подібні до овалів Cassini, але вони не є такими кривими.

Для вирішення обох вищезазначених завдань необхідно мати комп'ютерну програму (яку ми назвемо ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$), яка, коли дана точка ${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$ поблизу неявної кривої, знаходить точку ${\displaystyle P}$ на кривій:

(P1) для початкової точки ${\displaystyle j=0}$

(P2) , повтор

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right)}$

( Крок Ньютона для функції ${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$

(P3) поки відстані між точками ${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$ досить малі.

(P4) ${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$ - точка кривої поблизу початкової точки ${\displaystyle Q_{0}}$.

до алгоритму трасування: початкові точки зелені

Для того, щоб генерувати майже однаково рознесений полігон на неявній кривій, вибирається довжина кроку ${\displaystyle s}$ і

(T1) вибирається відповідна початкова точка поблизу кривої

(T2) визначається перша точка кривої ${\displaystyle P_{1}}$ за допомогою програми ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3) визначається напрямляючий вектор, вибирається початкова точка дотичної з використанням довжини кроку ${\displaystyle s}$ (див. малюнок) і визначається друга точка кривої ${\displaystyle P_{2}}$ за допомогою програми ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$.

${\displaystyle \cdots }$

Оскільки алгоритм трасує неявну криву, він називається алгоритмом трасування. Алгоритм простежує лише зв'язані частини кривої. Якщо неявна крива складається з декількох частин, алгоритм потрібно запускати кілька разів з відповідними вихідними точками.

Приклад: Ілюстрація алгоритму растру, застосованого до неявної кривої ${\displaystyle F(x,y)=(3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0}$. Крива (червона) - це те, що алгоритм намагається намалювати. Растрові точки (чорні) використовуються як початкові точки для пошуку найближчих точок на кривій (червоні кола). Відстань між кожною растровою точкою перебільшується, щоб показати окремі точки кривої; щоб більш точно відстежити криву, буде використано більше растрових точок. [4]

Якщо неявна крива складається з декількох або навіть невідомих частин, краще використовувати алгоритм растеризації. Замість того, щоб точно слідувати за кривою, алгоритм растру охоплює всю криву на стільки точок, що вони змішуються і виглядають як крива.

(R1) Створіть мережу точок (растру) на ділянці площини xy.

(R2) Для кожної точки ${\displaystyle P}$ у растрі запустіть алгоритм точки ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$ починаючи з P, позначте його вихід.

Якщо мережа достатньо щільна, результат наближається до з'єднаних частин неявної кривої.