Оператор (фізика)
Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:
Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):
У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.
Арифметичні операції над операторами
Оператор називається сумою (різницею) операторів , якщо для будь-якої функції з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:
Оператор називається добутком операторів , Якщо для будь-якої функції виконано умову:
В загальному випадку
якщо , то кажуть, що оператори комутують. Комутатор операторів визначається як
Власні значення і власні функції оператора
Якщо має місце рівність:
то називають власним значенням оператора , а функцію — власною функцією оператора яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень: Множина всіх власних значень називається спектром оператора.
Лінійні і самоспряжені оператори
Оператор називається лінійним, якщо для будь-якої пари виконується умова:
Оператор називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких виконується умова:
При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.
Оператори, які використовуються у квантовій фізиці
Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є спостережувані величини і стани.
У квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:
- Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).
- Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.
У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):
- Оператор координат:
Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.
Тут — уявна одиниця, — оператор набла.
- Оператор кінетичної енергії:
тут — стала Дірака, — оператор Лапласа.
- Оператор потенціальної енергії:
Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.
- Оператор моменту імпульсу:
Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)
- Оператор спіну:
У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд: , де
, , — так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).
Література
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
- «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;