Осцилятор Ван дер Поля

Осцилятор Ван дер Поля є одним з класичних прикладів неконсервативного коливання в динамічних системах з нелінійним згасанням. Система задовольняє звичайне диференціальне рівняння другого порядку

,
Коливання при .

де (насправді функція часу ) означає позицію точки в одновимірному фазовому просторі, скалярний параметр який контролює нелінійність та згасання. Коли , тобто коли згасання відсутнє, рівняння спрощується до (консервативного) гармонічного осцилятора

Двовимірна форма

Фазові траєкторії двовимірної системи при різних значеннях параметра .

Коли , нульовий розв'язок системи нестійкий. За допомогою теореми Ліенара можна довести що система має стійкий граничний цикл. Нехай , тоді систему можна записати у двовимірному просторі як[1]

або, якщо взяти ,

Вимушені коливання

Детермінований хаос в системі Ван дер Поля з вимушеним коливанням. Параметр нелінійного загасання , амплітуда , кутова швидкість .

Осцилятор Ван дер Поля з вимушеними коливаннями під впливом зовнішньої періодичної сили можна записати наступним чином

де задає амплітуду, а кутову швидкість.

Історія

Осцилятор був вперше досліджений голландським фізиком Балтазаром Ван дер Полом та був названий на його честь.

Рівняння Ліенара, назване на честь французького інженера Альфред-Марі Ліенара, є узагальненням системи Ван дер Поля.

Посилання

  1. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.