Осциляції Зенера — Блоха
Осциляції Зенера — Блоха — коливання частинки, що рухається в періодичному потенціалі, під дією постійної сили. Прикладом системи, в якій можуть реалізуватися такі коливання, є кристалічне тверде тіло. В реальних кристалах створити умови для спостереження осциляцій Зенера-Блоха важко, однак вони спостерігалися в штучних системах — надґратках.
Кларенс Зенер розглянув такі коливання для електронів кристалу в зовнішньому електричному полі. Фелікс Блох узагальнив теорію на випадок будь-яких частинок та будь-яких сил.
Напівкласична теорія
Якщо знехтувати міжзонними переходами електронів в присутності зовнішнього електричного поля , то зміна квазі-імпульсу електрона визначається другим законом Ньютона:
- ,
де — елементарний електричний заряд. У відсутності зіткнень електрон проходить по всій зоні Брілюена, відбивається від її границі, знову пересікає зону, і знову відбивається на границі. Таким чином, незбурений рух електрона в зоні під дією постійного поля має характер осциляцій у - просторі, і, як наслідок, у звичайному просторі.
Нехай поле направлене вздовж вектора оберненої ґратки , який визначає положення границі зони Брілюена, що відбиває електрони. За одну осциляцію електрон проходить відстань . Якщо , де — період елементарної комірки, то циклічна частота коливань дорівнює:
- .
Оскільки , для поля В/см2 частота становить близько 10−13 Гц. Осциляції обмежені в просторі, а центр осциляцій знаходиться в певній комірці. В такій ситуації потенціал збурення видозмінює енергетичні рівні в зоні. І виникають стани, енергія яких відрізняється на величину , виникає східцева зміна енергії вздовж країв зони. Рівні енергії створюють т. з. штарківську драбину, названу так, оскільки її виникнення нагадує ефект Штарка в атомній фізиці. Ясно, що амплітуда , просторових осциляцій визначається шириною зони :
Оскільки на елементарну комірку приходиться один стан, то загальна кількість осциляцій залишається незмінною, проте інтервали між сусідніми рівнями енергії залишаються скінченними і однаковими.
Квантова теорія
Хвильова функція електрона в стані Зенера — Блоха, очевидно, відрізняється від плоскої хвилі, оскільки вже не є хорошим квантовим числом. Розглядаючи прикладений потенціал, як збурення:
- ,-
- ,
де — зонні функції Блоха. Теорія збурень дає
Матричний елемент зручніше всього обчислювати, враховуючи
Переходячи від сумування по до інтегрування за допомогою співвідношення
- ,
та інтегруючи частинами, використовуючи властивість ортогональності плоских хвиль:
звідки похідні
- ,
а також
Для того, щоб періодичність хвильової функції зберігалась, функція повинна бути періодичною. Якщо покласти
де — енергія центра зони, то із умови періодичності витікає рівність енергій
- ,
де — ціле число, а — вектор елементарної комірки. Таким чином, стан, якому відповідає власне значення , локалізований у просторі біля елементарної комірки, розташованої в точці , звідки покладаючи
Хвильові функції Блоха тут будуть
Тепер можна використати просту модель, яка описує зону в напрямі поля :
- ,
- ,
де - ширина зони. Далі припускаємо, що функція не залежить від . Тоді
де — функція Бесселя, — ціле число, а поле направлене вздовж осі . Біля точки функція веде себе подібно до стоячої хвилі із хвильовим вектором величини , тобто довжина хвильового вектора рівна половині відстані від центру зони Брілюена до її границі. Коли , асимптотичний розклад дає
де — класична амплітуда просторових осциляцій, а — основа натуральних логарифмів. Ясно, що при хвильова функція дуже швидко затухає. Вона зменшується і при , досягаючи максимуму при . Поведінка цієї хвильової функції якісно схожа на поведінку гармонічного осцилятора — вона зростає біля кінців відрізка, які відповідають класичним точкам повороту. Для того, щоб спостерігати це явище необхідно задовольнити умови
де — час між зіткненнями. Як правило розрахунок часу проводять для станів, близьких до країв зони. Типові значення для близько . Таким чином, електрон що здійснює коливання Зенера — Блоха, більшу частину часу перебуває біля країв зони, і тому розумно прийняти оцінку часу близько 10−13 c. Для цього необхідно створити поля більші за 2·105 В/см. В багатьох випадках таке сильне поле може привести до пробою напівпровідника.
Література
- Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — М. : Мир, 1986. — 304 с.
- Zener C. -Proc.Roy.Soc. A, 1934,v.145,p.523.