Пентація

Пентація може бути записана як гіпероператор ${\displaystyle a[5]b}$, або в нотації Кнута як ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ чи ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$. А також у нотації Конвея як ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow 3}$.

Пентація є п'ятою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   ${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$

2. множення:

   ${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$

3. піднесення до степеня:

   ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

4. тетрація:

   ${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$

5. пентація:

   ${\displaystyle {_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Результат пентації можна отримати з четвертого стовпця таблиці значень функції Акермана: якщо ${\displaystyle A(n,m)}$ визначена рекурентно, як ${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ з початковими умовами ${\displaystyle A(1,n)=an}$ та ${\displaystyle A(m,1)=a}$, тоді ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=A(4,b)}$.

• ${\displaystyle 1\uparrow ^{3}b=1}$
• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}1=a}$

Додатково можна визначити:

• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}0=1}$
• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=0}$

Для невеликих натуральних чисел:

• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}2={^{2}2}=2^{2}=4}$
• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}3={^{^{2}2}2}={^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}$
• ${\displaystyle 2\uparrow ^{3}4={^{^{^{2}2}2}2}={^{65,536}2}=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}$
• ${\displaystyle 3\uparrow ^{3}2={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$
• ${\displaystyle 3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7,625,597,484,987}3}=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 4\uparrow ^{3}2={^{4}4}=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}$
• ${\displaystyle 5\uparrow ^{3}2={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}$

• Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12: 123–129, MR 0022537