Перетворення Хаусхолдера

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором ${\displaystyle \ u}$, що є ортогональним до неї; та ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярний добуток в ${\displaystyle \ V}$, тоді

${\displaystyle \ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$ — оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

${\displaystyle \ H=I-2uu^{*}.}$

• Матриця Хаусхолдера є ермітовою: ${\displaystyle \ H=H^{*}.}$
• Матриця Хаусхолдера є унітарною: ${\displaystyle \ H^{*}H=I.}$
• Отже вона є інволюцією: ${\displaystyle \ H^{2}=I.}$.
• Перетворення ${\displaystyle \ H_{u}(x)}$ відображає точку ${\displaystyle \ x}$ в точку ${\displaystyle \ x-2\langle u,x\rangle u.}$
• Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору ${\displaystyle \ u}$, усі інші власні значення дорівнюють (+1).
• Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
• Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані^{[джерело?]}.

• Матриця повороту
• Ортогональна матриця

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

• Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Перевод с английского. — М.: Машиностроение, 1976. — 389 с.