Поляризаційна тотожність

Якщо векторний простір є над полем дійсних чисел, тоді виконують рівності:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right).\end{aligned}}}$

Різні варіанти поляризаційних тотожностей є еквівалентними згідно правила паралелограма:

${\displaystyle 2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}=\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}.}$

Формули виводяться із властивостей скалярного добутку:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u+v\|^{2}&=\langle u+v,u+v\rangle \\[3pt]&=\langle u,u\rangle +\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\langle v,v\rangle \\[3pt]&=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}+2\langle u,v\rangle ,\end{aligned}}}$

і аналогічно

${\displaystyle \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle .}$

Виразивши скалярний добуток через норми у цих тотожностях можна одержати перші дві форми поляризаційної тотожності. Віднявши від першої рівності другу можна одержати третю форму.

Дійсна частина скалярного добутку (незалежно від того чи він є у дійсних чи комплексних просторах і антилінійним по першій чи другій координаті) є симетричною білінійною формою, яку можна виразити поляризаційною тотожністю:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\\end{alignedat}}}$

Натомість уявна частина залежить від того чи добуток є антилінійним по першій чи другій координаті.

Якщо скалярний добуток ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ є антилінійним по першій координаті, тоді для всіх ${\displaystyle x,y\in V:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy).\\\end{alignedat}}}$.

Якщо скалярний добуток ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle }$ є антилінійним по другій координаті, тоді для всіх ${\displaystyle x,y\in V:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy).\\\end{alignedat}}}$

Останню рівність також можна записати як::

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$[3]

Доведення дано для дійсних нормованих просторів. Для комплексних доведення аналогічне.

Якщо норма задана скалярним добутком, то вона задовольняє поляризаційну тотожність

${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$ для всіх ${\displaystyle x,y\in V.}$

Нехай тепер маємо довільний дійсний нормований простір із нормою ${\displaystyle \|\cdot \|}$, що задовольняє правило паралелограма. Тоді введена вище функція ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle )}$ є скалярним добутком, що породжує норму, тобто:

1. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in V}$
2. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in V}$
3. ${\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad }$ для всіх ${\displaystyle x,y,z\in V,}$
4. ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad }$ для всіх ${\displaystyle x,y\in V,}$ і всіх ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

(властивості ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geqslant 0}$ і ${\displaystyle \langle x,x\rangle >0,\ x\neq 0}$ тоді випливають із аналогічних властивостей норми).

Властивості (1) і (2) відразу випливають із підстановки: ${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2}}$ і властивості: ${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}}$.

Для доведення (3) необхідно довести:

${\displaystyle \|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}}$

Еквівалентно:

${\displaystyle 2(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2})-2(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$

До доданків у лівій стороні можна застосувати правило паралелограма:

${\displaystyle 2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}}$

${\displaystyle 2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}}$

Тоді після підстановки і перетворень одержується:

${\displaystyle {\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$

${\displaystyle \|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$

Але остання рівність одержується як різниця двох рівностей із правила паралелограма:

${\displaystyle \|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$

${\displaystyle \|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$

Це завершує доведення властивості (3).

Із властивості (3) випливає ${\displaystyle \langle nx,y\rangle =n\langle x,y\rangle }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ і тоді елементарно для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ Але із виконання (4) для ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ випливає (4) для ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$. Але скалярний добуток, сума і норма є неперервними у нормованому просторі, тому одержана внаслідок поляризаційної тотожності функція ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \ }$ є неперервною від дійснозначного аргумента ${\displaystyle \alpha }$. Тому оскільки ця функція є рівною 0 для раціональних чисел, вона має бути рівною 0 і для всіх дійсних чисел, що завершує доведення властивості (4).

Якщо B є симетричною білінійною формою на векторному просторі, і Q є квадратичною формою заданою як

${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$

то

${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$

Цю формулу можна застосувати навіть у випадку полів характеристика яких є рівною 2, хоча у цьому випадку ліва сторона в усіх формулах буде рівною 0. У цьому випадку не існує формули для симетричних білінійних форм через квадратичні форми і ці два поняття є нееквівалентними.

Формули також можна застосувати для білінійних форм на модулях над комутативними кільцями, хоча знову ж квадратичну форму можна виразити через симетричну лише якщо 2 є оборотним елементом у кільці, в іншому випадку поняття не є еквівалентними. Наприклад для цілих чисел існують квадратичні форми і симетричні форми.