Поляризаційна тотожність

У лінійній алгебрі поляризаційна тотожність виражає скалярний добуток двох векторів через норму у нормованому векторному просторі. Поляризаційна тотожність зокрема описує коли норма породжується деяким скалярним добутком.

Вектори у поляризаційній тотожності.

Поляризаційна тотожність тісно пов'язана із правилом паралелограма, адже для нормованого простору (V, ), скалярний добуток на V для якого існує якщо і тільки якщо виконується правило паралелограма. Тоді скалярний добуток однозначно виражається через норму саме за допомогою поляризаційних тотожностей:[1][2].

Формули

Будь-який скалярний добуток на векторному просторі породжує норму:

Поляризаційні тотожності навпаки виражають скалярний добуток через норму (у випадках коли норма породжена скалярним добутком).

Дійсні векторні простори

Якщо векторний простір є над полем дійсних чисел, тоді виконують рівності:

Різні варіанти поляризаційних тотожностей є еквівалентними згідно правила паралелограма:

Формули виводяться із властивостей скалярного добутку:

і аналогічно

Виразивши скалярний добуток через норми у цих тотожностях можна одержати перші дві форми поляризаційної тотожності. Віднявши від першої рівності другу можна одержати третю форму.

Комплексні векторні простори

Дійсна частина скалярного добутку (незалежно від того чи він є у дійсних чи комплексних просторах і антилінійним по першій чи другій координаті) є симетричною білінійною формою, яку можна виразити поляризаційною тотожністю:

Натомість уявна частина залежить від того чи добуток є антилінійним по першій чи другій координаті.

Якщо скалярний добуток є антилінійним по першій координаті, тоді для всіх

.

Якщо скалярний добуток є антилінійним по другій координаті, тоді для всіх

Останню рівність також можна записати як::

[3]

Знаходження скалярного добутку у нормованому просторі

Якщо у нормованому просторі (V, ) виконується правило паралелограма

тоді поляризаційні тотожності задають скалярний добуток для якого для всіх .

Це означає, що, наприклад, для дійсних векторних просторів, якщо виконується правило паралелограма, то функція, значення якої для є рівним є скалярним добутком.

Доведення

Доведення дано для дійсних нормованих просторів. Для комплексних доведення аналогічне.

Якщо норма задана скалярним добутком, то вона задовольняє поляризаційну тотожність

для всіх

Нехай тепер маємо довільний дійсний нормований простір із нормою , що задовольняє правило паралелограма. Тоді введена вище функція є скалярним добутком, що породжує норму, тобто:

  1. для всіх
  2. для всіх і всіх

(властивості і тоді випливають із аналогічних властивостей норми).

Властивості (1) і (2) відразу випливають із підстановки: і властивості: .

Для доведення (3) необхідно довести:

Еквівалентно:

До доданків у лівій стороні можна застосувати правило паралелограма:

Тоді після підстановки і перетворень одержується:

Але остання рівність одержується як різниця двох рівностей із правила паралелограма:

Це завершує доведення властивості (3).

Із властивості (3) випливає для і тоді елементарно для всіх Але із виконання (4) для випливає (4) для . Але скалярний добуток, сума і норма є неперервними у нормованому просторі, тому одержана внаслідок поляризаційної тотожності функція є неперервною від дійснозначного аргумента . Тому оскільки ця функція є рівною 0 для раціональних чисел, вона має бути рівною 0 і для всіх дійсних чисел, що завершує доведення властивості (4).

Узагальнення

Симетричні білінійні форми

Якщо B є симетричною білінійною формою на векторному просторі, і Q є квадратичною формою заданою як

то

Цю формулу можна застосувати навіть у випадку полів характеристика яких є рівною 2, хоча у цьому випадку ліва сторона в усіх формулах буде рівною 0. У цьому випадку не існує формули для симетричних білінійних форм через квадратичні форми і ці два поняття є нееквівалентними.

Формули також можна застосувати для білінійних форм на модулях над комутативними кільцями, хоча знову ж квадратичну форму можна виразити через симетричну лише якщо 2 є оборотним елементом у кільці, в іншому випадку поняття не є еквівалентними. Наприклад для цілих чисел існують квадратичні форми і симетричні форми.

Примітки

  1. Philippe Blanchard, Erwin Brüning (2003). Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan). Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, і variational methods. Birkhäuser. с. 192. ISBN 0817642285.
  2. Gerald Teschl (2009). Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann). Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators. American Mathematical Society Bookstore. с. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
  3. Butler, Jon (20 червня 2013). norm - Derivation polarization identities?. Mathematics Stack Exchange. Архів оригіналу за 14 жовтня 2020. Процитовано 14 жовтня 2020. See Harald Hanche-Olson's answer.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.