Правила де Моргана

Нехай ${\displaystyle (B,\lor ,\land ,-,0,1)}$ є деяка булева алгебра, тоді для ${\displaystyle a,b\in B}$ справджується:

${\displaystyle {\overline {(a\lor b)}}={\overline {a}}\land {\overline {b}};}$

${\displaystyle {\overline {(a\land b)}}={\overline {a}}\lor {\overline {b}}}$

Мають місце також узагальнені правила де Моргана:

${\displaystyle {\overline {\left(\lor _{i\in I}~a_{i}\right)}}=\land _{i\in I}~{\overline {a_{i}}}}$,

${\displaystyle {\overline {\left(\land _{i\in I}~a_{i}\right)}}=\lor _{i\in I}~{\overline {a_{i}}}}$.

Перше правило де Моргана:

${\displaystyle \lnot (p\land q)\iff (\lnot p\lor \lnot q)}$,

Друге правило де Моргана

${\displaystyle \lnot (p\lor q)\iff (\lnot p\land \lnot q)}$;

В обох цих формулах ${\displaystyle \lor }$  — логічна диз'юнкція,${\displaystyle \land }$  — логічна кон'юнкція,${\displaystyle \lnot }$ — логічне заперечення (негація), p, q — деякі логічні висловлення.

Істинність даних правил можна підтвердити за допомогою таблиць істинності

${\displaystyle \lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)}$
${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle \lnot (p\land q)}$	${\displaystyle \lnot p}$	${\displaystyle \lnot q}$	${\displaystyle (\lnot p)\lor (\lnot q)}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

${\displaystyle \lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)}$
${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle \lnot (p\lor q)}$	${\displaystyle \lnot p}$	${\displaystyle \lnot q}$	${\displaystyle (\lnot p)\land (\lnot q)}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Нехай ${\displaystyle X}$ — деяка множина і ${\displaystyle A,B\subset X}$ — її підмножини. Тоді виконується:

1. ${\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}$,

   ${\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$

де ${\displaystyle \cup ,\cap ,A^{c}}$ — стандартні позначення для об'єднання множин, перетину та доповнення множин.

Також виконуються і узагальнені правила

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcap _{i\in I}~A_{i}^{c}.}$,

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcup _{i\in I}~A_{i}^{c}.}$,

де ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$

Правила засновані на відношеннях

${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}={\overline {A\cap B}}}$,

які графічно представлені ілюстраціями нижче. Дано дві множини A і В, які є підмножинами Ω (універсуму). Діаграма 1 показує їх розташування відносно одна до одної. У діаграмі 2 показано, як формується ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$. У діаграмі 3 на прикладі ${\displaystyle A\cap B}$ можна побачити що обидві множини рівні.

Розподіл простору в А та В	${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$	${\displaystyle {\overline {A\cap B}}}$