Приєднані функції Лежандра

Розв'язки поначаються ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$, де m — верхній індекс. Налегше їх визначити як похідні від поліномів Лежандра (m ≥ 0)

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,}$

Іноді множник (−1)^m у визначенні опускають.

Визначені так функції задовольняють узагальнене рівняння Лежандра, учому можна переконатися взявши m похідну від рівняння Лежандра для поліномів P_ℓ:[1]

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$

Враховуючи формулу Родріга,

${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell$ !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}

Pmℓ можна записати у вигляді

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell$ !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}

Це рівняння дозволяє розширити діапозон значень m до: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Означення P_ℓ^±m, що слідує з цього виразу після заміни ±m, пропрціональні між собою. Справді, прирівняюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій та лівій частині формули

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$

стала пропорційносі визначається як

${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$

тож

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$

У межах 0 ≤ m ≤ ℓ, фукції задовольняють умову ортогональності для фіксованих m:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell },}$

де δ_k, ℓ — символ Кронекера.

Вони також задовольняють умову ортогональності при фіксованих ℓ:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}.}$

Диференційне рівняння інваріантне щодо зміни знаку m.

Функції при від'ємнмх m пропорційні визначеним при додатних m:

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

Якщо ${\displaystyle {\mid }m{\mid }>\ell \,}$ то ${\displaystyle P_{\ell }^{m}=0.\,}$

Диференційне рівняння не зміюється також при заміні ℓ на −ℓ − 1, тому функції при від'ємних ℓ визначаються як

${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)}$.

З означення випливає, що приєднані функції Лежандра або парні або непарні

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)}$

Associated Legendre functions for m = 4

Перші кілька приєднаних функцій Лежандра включно з від'ємними значеннями m:

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

${\displaystyle P_{5}^{-5}(x)={1 \over 3840}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{5}}$

${\displaystyle P_{5}^{-4}(x)={1 \over 384}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{4}x}$

${\displaystyle P_{5}^{-3}(x)={1 \over 384}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{3}(9x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{5}^{-2}(x)={1 \over 16}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2}(3x^{3}-1x)}$

${\displaystyle P_{5}^{-1}(x)={1 \over 16}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)(21x^{4}-14x^{2}+1)}$

${\displaystyle P_{5}^{0}(x)={1 \over 8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}$

${\displaystyle P_{5}^{1}(x)={-15 \over 8}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)(21x^{4}-14x^{2}+1)}$

${\displaystyle P_{5}^{2}(x)={105 \over 2}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2}(3x^{3}-1x)}$

${\displaystyle P_{5}^{3}(x)={-105 \over 2}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{3}(9x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{5}^{4}(x)=945\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{4}x}$

${\displaystyle P_{5}^{5}(x)=-945\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{5}}$

Функції Лежандра задовольняють рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[-P_{\ell +1}^{m+1}(x)+P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$

Корисні тотожності (початкові значення для рекурсії):

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$ — де !! позначає подвійний факторіал.

Інтеграл від добутку трьох приєднаних поліномів Лежандра з порядками вказаними нижче має значення для розкладу добутку поліномів Лежандра в лінійні ряди поліномів. Наприклад, у цьому виникає потреба при атомних розрахунках, які використовують матричні елементи від кулонівського оператора в методі Гартрі-Фока. Цій меті відповідає формула Гонта[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx=}$	${\displaystyle (-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}}$
	${\displaystyle \times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}}$

Ця формула використовується за умови виконання наступних припущень:

1. степені невід'ємні цілі числа ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$,
2. ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$ — невід'ємні цілі,
3. ${\displaystyle u}$ — найбільший зі степенів
4. у сумі степені дають ${\displaystyle u=v+w}$
5. порядки задовольняють умові ${\displaystyle m\geq n}$

Інші величини у формулі означені так:

${\displaystyle \ 2s=l+m+n}$

${\displaystyle \ p=\max(0,\,n-m-u)}$

${\displaystyle \ q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$

Інтеграл дорівнює нулю, якщо не виконується наступне:

1. сума всіх степенів парна, тож ${\displaystyle s}$ є цілим числом
2. задовольняється умова трикутника: ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$.

Донг та Лемю (2002)[4] узагальнили доведення цієї формули на інтеграли від добутку довільного числа приєднаних поліномів Лежандра.

Функції можна визначити для довільних комплексних параметрів та аргументів:

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu$ ;{\frac {1-z}{2}})}

де ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція, а ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гіпергеометрична функція:

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta$ ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}

За такого загального означення функції однозначно називають функціями Лежандра. Вони задовольняють тому ж диференційному рівнянню:

${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$

Оскільки це рівняння другого порядку, воно має ще один розв'язок ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$, визначений як:

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$

Як ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$ так і ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$ задовольняють рекурентним формулам, наведеним раніше.

Приєднані функції Лежандра найбільше використовуються, коли їхнім арументом є кут. Після заміни ${\displaystyle x=\cos \theta }$:

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,}$

Використовуючи ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$, наведений вище перелік набирає форми:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$

Ортогональність у цих позначеннях стає: для фіксованих m, ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ортогоналіні в інтервалі зміни θ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ з вагою ${\displaystyle \sin \theta }$:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

Для фіксованих ℓ:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$

Як функції від θ, ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ є розв'язками рівняння

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

Точніше, для цілого m${\displaystyle \geq }$0, наведене рівняння має розв'язки без особливостей тільки тоді, коли ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ для цілих ℓ ≥ m, і ці розв'язки пропорційні ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$.

У фізиці приєднані поліноми Лежандра як функції кута зустрічаються в задачах зі сферичною симетрією. Крім полярного кута ${\displaystyle \theta }$ в цих задачах фігурує кут ${\displaystyle \varphi }$. Функції цих двох кутів утворюють так звані сферичні гармоніки. Вони відображають симетрію дво-сфери під дією групи Лі SO(3).

Корисність цих функцій у тому, що вони є розв'язками рівняння ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$ на поверхні сфери. У сферичних координатах θ та φ , Лапласіан має вигляд

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+{\text{ctg}}\theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+{\text{cosec}}^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Якщо розв'язати рівняння в часткових похідних

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+{\text{ctg}}\theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+{\text{cosec}}^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$

методом розділення змінних, залежна від φ частина має вигляд ${\displaystyle \sin(m\varphi )}$ або ${\displaystyle \cos(m\varphi )}$ для цілих m≥0, а рівняння для залежної від θ частини набирає вигляду

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+{\text{ctg}}\theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$

розв'язками якого є ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ з ${\displaystyle \ell \ {\geq }\ m}$ та ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$.

Тому рівняння

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

має сепарабельні розв'язки без особливостей лише тоді, коли ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$, і ці розв'язки пропорційні

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$

та

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\varphi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$

Для кожного ℓ існує 2ℓ + 1 функцій з різними значеннями m та вибором синуса чи косинуса. Усі вони ортогональні щодо ℓ та m при інтегруванні по поверхні сфери.

Зазвичай розв'язки записують через комплексні експоненти:

${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\varphi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$

Функції ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )}$ називають сферичними гармоніками, а вираз у квадратних дужках є множником нормування. З означення приєднаних поліномів Лежандра для додатних та від'ємних m, легко доказати, що сферичні гармоніки задовольняють тотожність[5]

${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\varphi ).}$

Сферичні гармоніки утворюють повний ортонормований набір у сенсі рядів Фур'є. У геодезії, геомагнетизмі та спектральному аналізі використовуються інші фази та множники нормування.

Приєднані поліноми Лежандра тісно пов'язані з гіпергеометричними рядами . У формі сферичних гармонік вони відображають симетрію сфери Рімана щодо дії групи Лі SO(3). Поряд із SO(3) існує багато інших груп Лі, тож аналогіні поліноми відповідають симетріям напівпростих груп Лі та симетричним просторам Рімана. Грубо кажучи, можна записати лапласіан у симертричних просторах: тоді власні функції лапласіана можна вважати узагальненням поліномів Лежандра в інших умовах.

• Кутовий момент
• Список об'єктів, названих на честь Адрієна-Марі Лежандра

• Arfken, G.B.; Weber, H.J. (2001). Mathematical methods for physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.; Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
• Belousov, S. L. (1962). Tables of normalized associated Legendre polynomials. Mathematical tables 18. Pergamon Press..
• Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1970). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge, England: Cambridge University Press. OCLC 5388084.; Chapter 3.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953). Methods of Mathematical Physics, Volume 1. New York: Interscience Publischer, Inc..
• Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.; Chapter 2.
• Hildebrand, F. B. (1976). Advanced Calculus for Applications. Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9..
• Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, Vol. 7, No. 1 : pp. 59–69

• Associated Legendre polynomials in MathWorld
• Legendre polynomials in MathWorld