Піраміда (геометрія)

Пірамі́да( грец. вогонь на середині) (також рогівниця, гостриця, остриця) — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Неправильна шестигранна піраміда.

Елементи піраміди.

Пряма піраміда це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над центром її основи. Не правильні піраміди називають похиленими пірамідами. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник.[1][2]

Опис

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
$S_{b}={\frac {1}{2}}pl={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha$ ,
де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, $\alpha$ — кут при вершині піраміди
Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:
$V={\frac {1}{3}}Sh$

Особливі випадки піраміди

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проєктується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

Бічні ребра правильної піраміди рівні;
В правильній піраміді всі бічні грані - конгруентні трикутники;
В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює $\pi$ , а кожен з них відповідно ${\frac {\pi }{n}}$ , де n - кількість сторін багатокутника основи[3];
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

Бічні ребра піраміди рівні;
Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
Проєкція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
Двогранні кути при основі піраміди рівні;
Вершина піраміди проєктується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також

Примітки

William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46
Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers Архівовано 2018-02-25 у Wayback Machine.
Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архівовано 22 січня 2012 у Wayback Machine. // Квант. — 1998. — № 4.

Джерела

Погорєлов О. В. Геометрія : Стереометрія : підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — К. : Освіта, 2001.— 128 с. — ISBN 966-04-0334-8.
Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / О. М. Афанасьєва [та ін.]. — Тернопіль : Навчальна книга — Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8.
Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія : підручник для вузів. — К. : Вища школа,1993. — 134 с.

Посилання

Піраміда // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 151. — ISBN 978-966-7407-83-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46

[2] Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers Архівовано 2018-02-25 у Wayback Machine.

[3] Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архівовано 22 січня 2012 у Wayback Machine. // Квант. — 1998. — № 4.