Розв'язна алгебра Лі

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики 0. Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

• (i) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною за означенням вище.
• (ii) ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, приєднане представлення алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, є розв'язним.
• (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$} для яких:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.}$

• (iv) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ є нільпотентною алгеброю Лі.[2]
• (v) Для ${\displaystyle n}$-вимірної алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , існує послідовність підалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ для яких:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \forall i\operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1,}$

і ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ є ідеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$.[3] Ця послідовність називається елементарною послідовністю.

• (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ для яких,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ є ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ і до того ж ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$ є комутативною алгеброю Лі.[4]

• (vii) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга ${\displaystyle B}$ задовольняє умову ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ для всіх X в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і Y в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$.[5]

• Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.[6]
• Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
• Якщо ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним векторним простором над полем ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle F=\{V_{i}\}}$ — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(V)|xV_{i}\subset V_{i},\;\;\forall V_{i}\}}$ алгебри ${\displaystyle {\rm {gl}}_{k}}$ є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі ${\displaystyle V}$ ввести базис, що узгоджується з ${\displaystyle F}$ то елементи алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(F)}$ визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем ${\displaystyle K}$ розмірності n позначається ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n,K).}$ Якщо ${\displaystyle K}$ — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем ${\displaystyle K}$ ізоморфна підалгебрі алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n,K).}$

• Згідно з теоремою Лі, якщо ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем ${\displaystyle K}$ характеристики 0 і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною алгеброю Лі над підполем ${\displaystyle k}$ поля ${\displaystyle K}$, і ${\displaystyle \pi }$ є представленням алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над простором ${\displaystyle V}$,тоді існує повний прапор векторних підпросторів ${\displaystyle F}$ для якого ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {b}}(F).}$ Зокрема існує вектор ${\displaystyle v\in V}$ що є одночасно власним вектором матриць ${\displaystyle \pi (X)}$ для всіх елементів ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.[7] Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле ${\displaystyle K}$ є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць ${\displaystyle \pi (X).}$

• Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
• Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.[8]
• Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.[8]
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ є розв'язним ідеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}$ є розв'язною, то і алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною.[8]
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$, що містить всі розв'язні ідеали алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Цей ідеал називається радикалом алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і позначається ${\displaystyle {\rm {rad}}{\mathfrak {g}}}$.[8] Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$.[6]
• Розв'язна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ має єдиний найбільший нільпотентний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, що є множиною елементів ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ для яких ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо D є диференціюванням на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$.[9]

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад ${\displaystyle 3}$-вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Розв'язна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ належать ${\displaystyle k}$ для всіх ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.[8]

• Алгебра Лі
• Форма Кіллінга

• EoM article Lie algebra, solvable
• EoM article Lie group, solvable

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..